王 礼 想

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

数域上矩阵公分母的一些基本性质

王 礼 想

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

文章引入了数域上矩阵公分母的概念，并且讨论了数域上特殊线性群中矩阵公分母的一些基本性质。在数域的整数环是主理想环的特殊情况下，研究了最小公分母满足的一些重要条件。

整数环；K-矩阵；Ok-矩阵；公分母

在研究数域K上的矩阵(以下简称K-矩阵)A(本文总假设A不是零矩阵)时，常把它与K的代数整数环Ok上的一个矩阵(以下简称Ok-矩阵)B建立关系，其中常用的方法：给A乘以Ok中的一个适当的代数整数α，使得B=αA是Ok-矩阵，显然这样的α不唯一，易验证集合QA：={α∈Ok|αA是Ok-矩阵}是Ok的一个理想。

定义1 称上述理想QA为矩阵A在域K上的公分母。如果QA是主理想，则把QA的任意生成元称为A在域K上的一个最小公分母。

注1 在不致混淆的情况下，上述概念总是简称为A的公分母及A的最小公分母。特别地，在K是有理数域Q，Ok是有理整数环Z的情况下，熟知存在正整数n使得QA=(n)，所以在此情况下，总是选择n作为A的最小公分母。

在数域为有理数域这一特殊情况下，作为公分母这一概念的应用，文献[4]中研究了在P∈SL(2,Q)，且q级主同余子群Γq的共轭子群PΓqP-1为SL(2,Z)的子群时，P的最小公分母的如何取值的问题。文中有关模论的基本知识可参考文献[1-2]，代数数域的内容可参考文献[3,5]。

本文主要是考虑数域K上n阶特殊线性群SL(n,K)中矩阵公分母的一些基本性质。

定义2 给定K-矩阵A，称A的一切元素在K中生成的分式理想IA为A的理想。

根据数域中分式理想的定义以及基本性质，下面命题1是显然的。

命题2 给定n阶K-矩阵A，B，AB乘积的公分母QAB整除QAQB。

证明 任取ω∈QA，θ∈QB，(ωθ)·(AB)=(ωA)·(θB) 是Ok-矩阵，而QAQB是包含一切ωθ的最小理想，即得QAQB⊂QAB。

证明 设Sn是对称群，sgnσ是置换的符号，即sgnσ=1仅当σ是偶置换，否则sgnσ=-1。因A是SL(n,K)中矩阵，故其行列式为

命题5n阶K-矩阵A∈SL(n,K)乘以SL(n,Ok)中一个矩阵后，公分母不变。

证明 由于A乘以可逆矩阵B∈SL(n,Ok)后的理想IAB⊂IA，当然I(AB)B-1⊂IAB，即IA=IAB，再由命题3即得。

下面主要是讨论当Ok是主理想环时，最小公分母满足的一些重要条件。这里除非特别说明，总是假设Ok是主理想环。由定义2知，用最小公分母代替公分母来讨论是方便的。以下称Ok中某一可逆元为单位，相差Ok中一个单位的两元α,β称为相伴。

命题6 给定K-矩阵A∈SL(n,K)，非零元π∈Ok是A的一个最小公分母当且仅当矩阵B=πA的理想IB=Ok，即B的所有元素的最大公因子与1相伴。

证明 必要性。由于Ok是主理想环，且B的理想IB⊂Ok，因此存在非零元θ∈Ok使得IB=(θ)。因此C=θ-1B是Ok-矩阵，即存在α∈Ok，使得detC=α，故θn·α=detB=det(πA)=πn，即θn整除πn。如果θ,π的最大公因子与1相伴，则θ是单位，即证；否则存在Ok中不可约元ω同时整除θ,π，且是π的真因子，有πω-1∈IA=(π)，矛盾。

充分性。设QA=(β)。由IB=Ok，则B=πA必然是Ok-矩阵，即π∈QA，故存在υ∈Ok，使得π=βυ。有必要性C=βA的理想IC=Ok，所以Ok=υOk，即υ是Ok的一个单位，而π是一个最小公分母。

根据模论的知识[1]，对于主理想整环Ok上的矩阵有下面重要结论：

定理1 对于Ok上任意n阶非零矩阵A，存在U,V,P,Q∈SL(n,Ok)，使得UA为上三角形矩阵，AV为下三角形矩阵，而PAQ为对角形矩阵D：

D=diag(d1,d2,…,dr,0,…,0)

(1)

其中d1(1≤i≤r)是Ok中一组非零元，且满足整除关系d1|d2|…|dr。进一步，这些di在Ok中元素相伴的意义下是唯一的。

注2 定理1中di称为A的第i个不变因子。若A∈SL(n,K)，则乘以它的最小公分母α，可知存在P,Q∈SL(n,Ok)，使得B=αA可以化为(1)式的形状，且r=n。故

G=PAQ=α-1diag(d1,d2,…,dn)

(2)

再由命题3与命题5知，G的最小公分母也是α，d1是Ok中的一个单位。而且由于detG=1，所以d1d2…dn=αn。由此可以讨论Ok是主理想环时，命题2中，QAB何时与QAQB相等。

命题7 给定A,B∈SL(n,K)，α,β分别是A,B的最小公分母。如果α,β互素，则乘积AB的最小公分母与αβ相伴，即QAB=QAQB。

证明 对矩阵A，设P,Q∈SL(n,Ok)满足(2)式。这样由命题5知AB与PAB公分母相同，由定理1知，

PAB=PAQ(Q-1B)=

α-1diag(d1,d2,…,dn)(Q-1B)

(3)

其中d1,d2,…,dn=αn。

再由命题5知，Q-1B与B公分母相同。由定理1设V∈SL(n,Ok)，使得(Q-1B)V为下三角形，当然仍与B公分母相同。设

其中对于1≤i,j≤n，hij∈Ok并且h11h22…hnn=βn。由(3)式可得：

设H的第j行元的一个最大公因子hj，显然hj整除hjj。

由命题6知d1,d2,…,dn与h1,h2,…,hn两组元素的最大公因子都与1相伴，下面证明d1h1,d2h2,…,dnhn的最大公因子也与1相伴。

反证法 假设有素元p同时整除这n个元，则可知p至少整除一个di和一个hj，否则由素元的性质，p将整除所有di或hj，这与它们的最大公因子是单位相矛盾。而由此导致p整除d1d2…dn=αn，但是由hj的定义，h1h2…hn整除h11h22…hnn=βn，这样p同时整除αn与βn，这与α,β互素矛盾，即证AB最小公分母与αβ相伴。

下面证明命题7对应的逆命题也正确。

命题8 设C∈SL(n,K)，γ=αβ是其一个最小公分母，则存在A,B∈SL(n,K)，满足C=AB,且A,B的最小公分母分别与α,β相伴。

证明 取P,Q∈SL(n,Ok)，使得

PCQ=γ-1diag(d1,d2,…,dn)，

如果γ是单位，则结果显然，因此可令γ,α,β分解式分别为

如果ei=0，则对整数1≤j≤n，令αji=1。

如果ei≠0，因为nhi≥nei，且s1i=0，故存在0

此时令

A=α-1P-1diag(α1,α2,…,αn)，

B=β-1diag(β1,β2,…,βn)Q-1，

容易验证A,B满足所求。

命题9 给定A∈SL(n,K)，α是A的最小公分母，dn是αA的第n个不变因子，则α整除dn，且A-1的最小公分母与dnα-1相伴。

证明 取P,Q∈SL(n,Ok)使得(2)式成立。设p是α的一个素因子。如果对于非负整数f，pf整除α，则pnf整除αn。如果pf不能整除dn，则d1|d2|…|dr也不能整除di，但是d1是单位，因此由d1d2…dn=αn得p(n-1)f不整除αn，矛盾，即α整除dn。

对后一断言，由(2)式得：

由α整除dn得G-1的最小公分母与dnα-1相伴，再由命题5即得。

[1]T. S. Blyth.Module Theory:An Approach to Linear Algebra [M]. Oxford: Clarendon Press, 1977.

[2]J. J. Rotman. 高等近世代数[M]. 章亮, 译. 北京: 机械工业出版社, 2007:483-490.

[3]冯克勤. 代数数论[M]. 北京: 科学出版社, 2001.

[4]孙广人. 主同余子群的Γ(n)-正规化子[J]. 安庆师范学院学报(自然科学版), 2013, 19(4), 5-7.

[5]张贤科. 代数数论导引[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2006.

On the Common Denominator of a Matrix over Some Number Field

WANG Li-xiang

(Department of Mathematics, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

The notion common denominator of a matrix over some number field is introduced in this paper. Some basic facts are cleared when the matrix is belonging to the special linear group over a given number field. When the integer ring of number field is a principal ideal domain, several fundamental properties on minimum common denominator are stated.

integer ring,K-matrix,Ok-matrix, common denominator

2015-05-20

安庆师范学院青年科研基金(KJ201414)。

王礼想，女，安徽淮北人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为数字图像处理。

时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.005.html

O152.3

A

1007-4260(2015)04-0016-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.005