高成进

一、恒成立问题的基本类型

在数学中经常碰到：在给定条件下某些结论恒成立的命题，我们称为恒成立问题。其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数③某不等式的解为一切实数; ④某表达式的值恒大于m，等等 ┅，它涉及到基本初等函数的图像、性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一.下面笔者结合教学实践，介绍一些恒成立问题的解题策略。

二、恒成立问题解决的基本策略

（一）利用特殊值求解。

对于填空题或选择题中的关于等式的恒成立问题常常用赋值法求解。

例1.如果函数y=f（x）=sin2x+？琢cos2x的图像关于直线x= 对称，那么？琢=

解：取x=0及x= ，则f（0）=f（ ），即？琢=1.

此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想.

（二）利用一次函数的性质求解。

对于一次函数有f（x）=kx+b，x？缀[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例2：已知f（a）=（x-1）log  a-6xlog3a+x+1，当x？缀[0，1]时，f（a）恒为正数，求a的取值范围。

分析：从表面结构看f（a）是一个以log3a为变量的二次函数，而实质是变量x的一次函数，因此可构造x的一次函数求解。

解：原式变形为g（x）=（log  a-6log3a+1）x+1-log  a

因为g（x）在区间[0，1]上恒正，所以g（0）>0且g（1）>0，即1-log  a>0且1-3log3a>0

解得 <a<

说明：本题采用改变主元的办法，将问题转化成一次函数最值的问题。

（三）利用函数的最值或值域求解——分离参数法。

若对于？琢≤f（x）在[m，n]上恒成立，则？琢≤f（x）min;？琢≥f（x）在[m，n]上恒成立，则？琢≥f（x）max。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值或值域的问题。

例5：在△ABC中，已知f（B）=4sin Bsin2（ + ）+cos2B，且|f（B）-m|<2恒成立，求实数m的范围。

解析：由

f（B）=4sin Bsin2（ + ）+cos2B=2sinB+1，∵0<B<？仔，∴sinB？缀（0，1]，f（B）？缀（1，3]，∵|f（B）-m|<2恒成立，∴-2<f（B）-m<2，即m>f（B）-2m<f（B）+2恒成立，∴m？……