朱 敏

自1947年哥德尔明确提出新公理纲领至今，反射原则(Reflection Principles)被视为通过描绘集合宇宙V而为新公理提供辩护的最具潜力的方法。康托尔、策梅洛、阿克曼、贝奈斯、哥德尔等都一致认为，集宇宙的主要特征是“任何由某确定闭包原则定义的集合都无法描绘它”。反射原则就是精确表达这个非形式的描述:关于集宇宙V的任何真断言φ必定已经在V的某初始段Vα上为真，它的形式化表述为:V|= φ(A)→ ∃αVα|= φα(Aα)，其中 φα(Aα)是φ(A)的量词相对于Vα的结果，Aα是任意参数A相对于Vα的结果。

目前已有的一些研究成果表明，无论涉及有穷阶量词和参数的语句集，还是无穷阶量词和参数的语句集，反射原则均是或弱于Erdös基数κ(α)①如果 α ＞ω，Erdös基数 κ(α)是最小基数 κ(如果存在的话)，使得。，或不一致。然而要让反射原则对集宇宙作出精确描述似乎是困难的，因为人们对于它力图描绘的集宇宙V的理解存在诸多分歧。在康托尔的“绝对学说”②M.Hallett，Cantorian Set Theory and Limitation of Size，Oxford:Clarendon Press，1984，p.42.中，集宇宙V被视为“完成的总体”;在策梅洛的“超穷非集或超集”③E.Zermelo，On Boundary Numbers and Domains of Sets:New Inverstigations in the Foundations of Set Theory，in H.D Ebbinghaus，A.Kanamori，C.G Fraser(Eds.)，Ernst Zermelo Collected Works，Volume I，Berlin:Springer，2010，p.429，p.431.中，集宇宙V被视为“未完成的总体”;而在哥德尔那里，集宇宙V被理解为由“集合迭代概念”生成④它通过移除简单类型论上的三个限制而获得。第一，不同类型的类可以形成一个类;第二，当和具有不恰当类型时，不是无意义而是为假;第三，不限于有穷类型，而是允许类型进入超穷。这样，类型变成集合域，从而得到一个集合的累积分层。集宇宙V的含义不明确导致的结果是，一方面，人们不太可能以非特设的方式限制反射原则以避免不一致性;另一方面，反射原则的概念似乎可以无限扩展，即总可以超越已被精确阐述的反射原则，得到更强的反射原则。但到目前为止，许多学者认为Erdös基数仍然是所有已知相容的反射原则不可逾越的屏障。那么，如何可能提出一种强反射原则，它既可以突破这个屏障以证成大的大基数公理，又可以描述真正意义上的集宇宙V呢?这取决于人们对集宇宙V的理解。

一、有限闭包下的反射原则

支持所有公理，尤其大基数公理都蕴涵在“V是不可描述的”中的首先是哥德尔:“总体上，我相信如果分析到极致的话，每条无穷公理应该从(极为似真的)V是不可定义的原则中推导出来，这里，可定义性在越来越广泛和理想化的意义上被对待。”①H.Wang，A Logical Journey:From Gödel to Philosophy，Cambridge，MA:Mit Press，1996，p.284.1951年哥德尔提出的“由跳跃运算和正则运算下的闭包条件”实现的累积分层就暗含反射原则的形式:“∀X[φ(X)→ ∃βφβ(X)]”，由它可以推导出小的大基数的存在，如不可达基数、Mahlo基数和弱紧致基数等。除此之外，哥德尔也在1964年的文章中断言更大的大基数(即可测基数等)的存在。但是，由跳跃运算和正则运算下的闭包条件实现的仅仅是一阶反射原则，它并不蕴涵这些大的大基数公理。而且，后来人们提出的高阶反射原则，即便涉及集宇宙V满足的一般逻辑条件下的闭包条件，但可能因φ(X)在逻辑上过于复杂从而使得得到的更强的大基数公理不足以令人信服，甚至高阶反射原则在涉及三阶或高阶参数时会导致不一致②Cf.William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.96.。人们也曾尝试借助于某种“相似性原则”——ω具有的性质应该也被某个更大的基数所具有——为这些更大的大基数公理做出辩护，但是这个原则使得更大的大基数越来越远离直观的集合概念。因此，哥德尔希望使得所有集合论公理都蕴含在集合迭代概念下的期望并没有得到实现，基于有限闭包下的反射原则得到的集合论公理是有限的。

当代数学哲学家 W.泰特(William.W.Tait)同样支持集合论公理蕴涵在集宇宙V中的观点，并将“集宇宙V”理解为哥德尔的“集合迭代概念”。他认为，哥德尔1933年解释了一种可扩充的形式系统分层，它对于集合概念是内在的。这个可扩充的分层与哥德尔的不完全性定理有关:由不完全性定理，解决某系统S上的不可判定命题，需要扩充该系统到一个新的分层。这可以从由下到上的反射原则得到，即基于语句φ(X)=S的反射原则从相容系统S=Sα(α是无穷数)获得累积分层中的Sβ=S+ ∃ζSζ(Sβ是高于 Sα的下一个分层)，然后由Sβ证明Sα中不可判定的命题。另一方面，由不完全性定理，构造越来越高的分层不会终止，因为Sβ中又会出现不可证的命题，需要将它扩充到更高层级来证明。这个可扩充的分层也就意味着可以通过较高层级上的形式系统蕴涵较低层级上的不可判定命题来承认更大的大基数的存在。

但是，泰特认为这种底层级的应用对于引进新公理并不重要，因为当前几乎所有数学都包含在累积分层的前三个层级中(根据哥德尔1951年的说法)，可扩充的形式系统分层，尤其大基数公理的需要不必通过底层级的应用来“证成”它们。真正的关键是，根据任意集合都有上界的原则，新公理的需要对康托尔的超穷数理论是内在的。由此，泰特质疑一些作者将哥德尔的“新公理纲领”理解为“旨在解决算术问题或连续统假设”，也认为哥德尔用“外在证成”方式理解新公理的引入与集合的迭代概念不相容:公理的“内在必然性”源自集宇宙的每个“性质”必定被某集合所具有的思想，公理在这种迭代概念上的“真”不会因公理所获推论的丰富性(即它的成功)而获得更多支持，“从迭代概念角度看，一个命题真值的‘可能判定’只可能是它从这个概念推导出来的可能判定。否则，如何知道基于成功的可能判定不会导致对被视为内在必然的真理的否认?”①William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.96.

总之，泰特认为集合论公理应当是一种内在必然的真理，它的必然性体现在它恰恰表达了集宇宙V的涵义，并且集宇宙V的含义应当被理解为哥德尔意义上的“集合的迭代概念”。泰特反复强调反射原则可以耗尽集宇宙V的含义，因此只有那些从反射原则中推导出的公理是内在必然的，并且由此形成的可扩充形式系统分层必定符合康托尔超穷数理论所意谓的可扩展性。那么，具有丰富推论的公理何以可能与体现内在必然真理的公理不相容呢?唯一的可能就是它们不表达集宇宙V的含义。由此，泰特的一个显然推论就是:不是由反射原则推导出来的公理都应被拒斥。基于这种观念，当他提到哥德尔也承认可测基数存在时，他对这个基数的存在表示怀疑，因为该基数蕴涵不可构造集合的存在，而“目前尚不清楚讨论的‘集合的一般概念’是否蕴涵非可构造集合的存在”②William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.94.。

除了这些哲学讨论，泰特希望在技术成果上支持公理的内在必然性。他先从一阶反射原则出发，然后扩展到高阶反射原则，对高阶反射原则的不一致性进行语言的修正③Tait试图通过避免采用“否定”语句来回避不一致性，因此提出了关于肯定语句集的反射原则，即Γn-反射原则，它表达Ω是Ω中的n-反射。经证明，Γn-反射原则的强度处于n-不可描述基数和可测基数之间。Cf.William W.Tait，Zermelo on the Concept of Set and Reflection Principles，in M.Schirn(Ed.)，Philosophy of Mathematics Today，Oxford:Clarendon Press，1998，pp.469-483;William W.Tait，Constructing Cardinals from Below，The Provenance of Pure Reason:Essays in the Philosophy of Mathematics and Its History，2005，pp.133-154.。但是，P.克勒纳(Peter Koellner)在2009年的文章中认为，泰特在高阶反射原则上进行的语言修正具有特设性，很难说源于集合概念。更重要的是，即便接受泰特修正过的反射原则，所有已知的反射原则并没有使得不完全性的现象明显减少。也就是说，如果认为这些已知的反射原则耗尽了集合的迭代概念，许多不可判断命题，如二阶算术上的命题“投影集具有单值化的结构性质”和三阶算术上的命题CH等都将成为绝对不可判定的。克勒纳曾尝试借助于“反射原则上的反射”判断二阶算术上的独立性命题，但这样的“反射原则”并不描述集合的迭代概念。因此，在克勒纳看来，接受大基数公理的唯一路径似乎只能是寻求某种外在的辩护，即诉诸公理所获得的丰富推论或根据它们对解决不可判定命题的实际成效等来为更大的大基数公理提供辩护。

泰特和克勒纳观点的不同在于，泰特认为引进新公理的标准不依赖于推论的丰富性，或者说，不依赖于对不完全性现象的解决，因为这可能导致对内在必然真公理的否定;而克勒纳用如下例子说明泰特上述观点的错误:语句Con(ZF+AD)不能从自然数概念中“推导出来”，但并不由此就会否认关于自然数概念的真理④P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.。克勒纳由此希望通过表明反射原则的限度——“是否实际解决许多不可判定的问题”——来支持如下观点:如果引进的新公理可以解决许多ZFC不可判定的命题，那么即便它们不是从反射原则推导出来的，它们的存在也是合理的。

倘若希望既接受泰特关于集合论公理是内在必然的立场，又认可克勒纳催促解决不可判断问题的主张，那么一条可能的解决路径就是尽可能扩充反射原则，以促使它们容纳所有集合论公理，尤其容纳那些似乎仅为解决不可判定命题而构造的二阶和三阶的算术新公理。而这又不得不需要追问，反射原则到底应当描绘什么样的集宇宙V?

二、潜无穷观下的反射原则

事实上，克勒纳在2009年的《论反射原则》(On Reflection Principles)中曾表明，迄今为止已知的反射原则并没有完全精确描述“V的不可描述性”，由此仍有希望扩充已有的反射原则来证成二阶算术公理，乃至三阶算术公理。更关键的是，相容的反射原则之所以不可逾越Erdös基数，源于克勒纳对反射原则的技术处理依赖于潜无穷观的预设。

考虑高阶反射原则能否被集合的迭代概念内在证立，克勒纳认为最基本的困难是高阶量化，这涉及潜无穷观和实无穷观的问题。首先，他认为潜无穷者和实无穷者之间存在如下共识:集合论中几乎所有问题都是关于集宇宙初始段上的问题。其次，他认为如果按照实无穷的观点，即所有集合构成的总体V是完成的总体，那么“这个总体不可能由下至上地被描述，因此[这个总体]满足反射原则。但是没有集合超出这个总体，因此很难根据这个观点使得集宇宙上完全的高阶量化有意义”①P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.。这里，“实无穷不能使得完全的高阶量化有意义”是因为“如果集宇宙V由所有集合构成，V的幂集并不存在”②关于集合形成的运算不适用于V的讨论，参见P.Koellner，The Search for New Axioms(Doctoral dissertation，Massachusetts Institute of Technology)，2003，pp.17-20。。当考虑集宇宙V具有的性质也被Vα所具有时，由于实无穷V不能像集合的完全幂集一样构造它的完全幂集，限制了类上的量化，进而不可能实现完全的二阶反射原则。最终，实无穷只能处理一阶反射原则模式和断定不可达基数的存在③P.Koellner，The Search for New Axioms，p.32.，并且由实无穷观点得到的反射原则不可能获得更强的公理。

如果采取潜无穷的观点，“谈论V就是谈论某Vα”④P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.，那么便可以在Vα上进行高阶量化。例如，二阶量词∀X和∃X量化的(Vα)就是Vα+1，它可以形成高阶反射原则。但是，潜无穷需克服如下困难:由于它说明V是不确定的总体，它又如何说明V具有的性质也被Vα所具有(即反射原则)。这涉及如何理解V的问题。

在克勒纳看来，V的不确定性在如下意义上成立:对V的任何精确描述都只是获得某闭包原则下的Vα，因此谈论V相当于谈论Vα。按照如上观点，集合概念V是由各种闭包原则获得的各种Vα形成的谱系。但是，V和Vα有所区别:(1)Vα可以通过闭包原则阐明，而V不可能通过闭包原则阐明;(2)Vα可以被Vα+1超越，但V不可能被超越。这里的关键是，前者的超越不是说Vα+1比Vα具有更强的闭包原则，而是说它们仅仅是不同层级下实现的相同闭包⑤P.Koellner，The Search for New Axioms，pp.18-19，pp.48-49.。理由是，对于序数 κPλ，如果Vκ和Vλ是 Vα中的元素，由于Vα的闭包原则可以被描述，就可以说Vλ满足更强的闭包原则，因为它有一个层级Vκ满足内在于集合概念中的闭包原则;但当Vκ和Vλ处于V中时，由于V的闭包原则不可能被描述，因此不能说Vλ中有一个层级满足这样的闭包原则。

这产生一个后果:“集合概念的合法候选者是序不可描述的(order indiscernibles)。V是任意极大的封闭层级。[V]的合法候选者不可能被定义，而且离开它们的序不可能彼此辨别。这就是潜无穷主张任何集合可以被超越时谈论V的方式。”⑥P.Koellner，The Search for New Axioms，p.49.基于这样的潜无穷观，克勒纳得到如下结论:一般反射原则要么在三阶量词上强加不必要的限制来避免不一致，要么不可能逾越第一个Erdös基数。虽然这个结论并不蕴涵克勒纳认为现有的反射原则完全耗尽了V的不可描述性，但他显然支持“不太可能证明一个强反射原则既能突破Erdös基数的屏障又能基于集合的迭代概念获得内在合理性”。进一步说，更强的大基数公理的合理性似乎只能诉诸外在证成的原则，即公理所获得的推论丰富性或解决独立性问题的富有成效性。

三、实无穷观下的反射原则

与克勒纳上述想法相左，P.D.韦尔奇(P.D.Welch)和 L.豪斯顿(L.Horsten)在《绝对无穷》(Absolute Infinity)①P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012.中表明，存在更强的反射原则可以为更强的大基数公理辩护，同时它们蕴涵在集合的概念之中。与克勒纳的显著差别在于，他们支持在实无穷观而不是潜无穷观下阐明反射原则，并认为克勒纳的反射原则之所以得到消极结论，是因为它们并不是对康托尔“绝对无穷”的合理描绘。在韦尔奇和豪斯顿看来，1887年康托尔提出的“数学上的绝对无穷概念”应当被理解为一个整体，是完全确定、完全实在(在“完成”的意义上)、不可扩展和数学上不可言说的，而这才是反射原则真正要去描绘的东西②Cf.P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，pp.7-11.。进一步说，如果“所有集合的宇宙是未完成的总体并不是意指客观的不确定性，而是仅仅意指主观上没有能力实现它”③H.Wang，A Logical Journey:From Gödel to Philosophy，p.259.，康托尔的集宇宙应该具有如下结构:〈V，∈，C〉，其中，V是集宇宙，C是所有绝对无穷的汇集。从而，反射原则要表达的是，任何在〈V，∈，C〉中成立的断言必定也在某集合大小(set-size)的结构中成立，韦尔奇将其称为广义反射原则(简称GRP):

存在一个序数κ和一个具有临界点κ的不平凡初等嵌套 j∶〈Vκ，∈，Vκ+1〉→〈V，∈，C〉，其中，j是恒等变换函数。否则，当小于 κ时，j(κ)fκ④P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.14.。

这个定义说的是，当集宇宙和它的部分在二阶语言中被考虑时，集宇宙和它的部分至少与它们的初始段Vκ以及Vκ的部分不可区分，即集宇宙和它的所有真类被整个地反射到初始段〈Vκ，∈，Vκ+1〉中。这里，GRP 与克勒纳的反射原则的差别在于:后者只是表明每个(二阶)语句可以从集合论宇宙中被反射到某Vκ中，因此不同的二阶陈述有可能被反射到不同的Vκ中，因而不会得到如下结果:集宇宙作为总体与它的任何单一的像集合的初始段相似;而GRP将整个二阶语言反射到单一的Vκ中，因此假设了整个集宇宙〈V，∈，C〉与它的初始段〈Vκ，∈，Vκ+1〉是不可区分的。由此，GRP 比类反射原则以更强的方式表达了反射原则的思想，这使得 GRP产生很强的数学结果⑤P.Welch，Global Reflection Principles，in Exploring the Frontiers of Incompleteness，paper prepared for the EFI-Harvard Seminar，number INI12050-SAS in Isaac Newton Institute Pre-print Series，May，2012.:当GRP成立时，存在不可数多的可测基数;并且由于可测基数远大于第一个Erdös基数，GRP实际上克服了克勒纳提出的挑战，即GRP不仅可以获得大于Erdös基数的基数，而且它源于集合概念(需要注意的是，这个概念与克勒纳的集合概念不同);尤其，GRP还蕴涵不可数多Woodin基数真类，因此也就蕴涵投影决定性公理PD和决定性公理ADL(i)。这意味着，本身因推论的丰富性而获得支持的那些大基数公理和投影决定性公理现在可以由GRP提供内在辩护。

这些都是基于GRP背后的实无穷思想产生的技术结果，但是克勒纳之前声明类反射原则的消极结果，并且他的强反射原则意义上的外延原理都不源自集合的迭代概念，因此韦尔奇和豪斯顿不仅需要说明GRP的确是在描述集宇宙(尤其当它还以嵌套函数作为中介时)，还需说明GRP承诺什么样的本体存在。就前一个问题而言，GRP不仅是获得绝对无穷知识的间接模式，而且表达了集宇宙作为一个总体由于过于丰富不可能用语言定义的思想，所以它的确是似真的反射原则⑥P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.17.。就后一个问题而言，这个问题源自GRP的定义。韦尔奇和豪斯顿假设〈V，∈，C〉至少使得 NBG为真，因此GRP定义中初等嵌套⊃的初等性是关于二阶集合论语言的初等性;另外，j预设了Vκ和Vκ+1之间序对的存在，因此它至少应该表述为一个三阶对象。这需要GRP回答二阶和三阶量词域中包含什么对象的问题，即承诺什么对象存在的问题。显然，集合的存在毫无困难，它是一阶量词所包含的对象。从哲学上看，主要问题是二阶和三阶量词包含什么样的对象。

而理解二阶和三阶量词包含什么样的对象需要区分类与集合①P.Welch，Conceptualism:Sets and Classes，“Foundations of Mathematics:What Are They and What They for?”Conference，Cambridge，July，2012.。按照康托尔的早期思想，绝对无穷和集合是不同的，因此也意味着类不同于集合。冯·诺依曼在阐述康托尔的这种思想时认为类和集合都遵循数学法则，只是类遵循不同的数学法则，即它可以包含元素，但自身不作为其他对象的元素，从而不存在类的幂集公理。克勒纳也认为不存在V的幂集公理，但是他的这个主张意在说明高阶反射原则上的完全高阶量化不可能通过实无穷获得，由此他倾向于潜无穷的观点。韦尔奇和豪斯顿则通过探究为何不存在V的幂集公理来明确类和集合的不同，从而基于实无穷观来实现更强的反射原则。韦尔奇和豪斯顿认为，冯·诺依曼没有说清楚“类”是什么，尤其没有说清楚为何类可以包含元素却不可以作为其他东西的元素。如果遵照康托尔的本意，集宇宙V应该是纯逻辑的整体，类是部分集宇宙。它们的关键特征是，即便将V的各个部分融合在一起也不会产生一个超类，而仍只是V本身，所以不可能存在类的幂集公理，由此将类与集合区别开来。这里，作为纯逻辑解释的类可以视为二阶量词域中的对象②P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，pp.20-22.。

韦尔奇和豪斯顿还给出了二阶量词域的复多解释。这个解释隐含在康托尔晚期“不一致复多”的术语中，即在只承认集合存在的情况下承认类理论的真理，即本体论上不承诺类的存在。按照这个理解，“复多”是类不是集合，但它不是二阶量词域中的对象，因此不是上述纯逻辑意义上的类。韦尔奇和豪斯顿强调，这种复多解释不会产生集宇宙的潜无穷概念，因为一阶量词域中的集合以实无穷的方式被解释，所以二阶量词的复多解释完全取决于它。另外，他们还指出，通常认为复多的存在与V上的定义条件无关，因此非直谓的二阶概括模式对集合的复多成立。但高阶复多并不具有实际意义，因为根据类的解释，集合的复多的复多并不超出集合的复多。更重要的是，在陈述GRP的二阶表述时，尤其表述j为一个三阶对象时，无需量化集合的复多的复多，而是只需很小的类序列就可以编码它③P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.21，pp.23-24.。

韦尔奇和豪斯顿认为这两种二阶量化域的解释提供了清楚表达GRP的语言框架，将两者结合起来就可作为一种形而上学立场。首先，根据纯逻辑的解释，集合是存在的唯一数学对象，它们汇集在一起构成完成的总体V，V的每个部分也是完成的整体;但是，V和它的部分(子类)都不是数学对象，子类与V之间的部分和整体的关系因此不同于集合之间的属于关系，它们并不产生一个类的分层。另外，一阶量词遍历所有集合，二阶量词遍历V所有部分，因此承诺了集合的存在，以及承诺了集宇宙V和它的部分的存在。其次，根据复多的解释，复多的量化允许复多地指称已承诺的实体。由于已承诺集合和类的存在，因此允许三阶量词复多地指称部分V，即指称部分V只需要三阶存在量词“∃j”，它用于表达嵌套函数j的存在，同时它满足GRP中的条件。注意，j的存在不是作为对象存在，而是作为满足某些性质的序对的复多存在。最后，无论是子类和V之间的部分和整体关系，还是集合的复多和集合的复多的复多之间的关系，由于它们都不是数学对象，因此不可能产生一个类或复多的分层。由此，GRP在纯逻辑和复多解释下都可以表达为一个二阶原则，而且在主张它的三阶表达式时，首先用纯逻辑解释说明二阶量词域，然后用复多解释使得三阶量词有意义。由此得到的可喜结果是，GRP不仅是一个似真的反射原则，而且在一定程度上消解了泰特与克勒纳之间的争论与分歧。

四、结 语

从哥德尔、泰特到克勒纳、韦尔奇和豪斯顿都力图通过反射原则说明“集宇宙如此丰富以至于不可能通过任何断言近似地描述它”，从而为已有的集合论公理提供辩护。但形式化后的反射原则，尤其克勒纳与韦尔奇、豪斯顿这后两者的反射原则强度完全不同。克勒纳的类反射原则尽管比哥德尔和泰特的表达力更强，但仍相对有限，同时加强类反射原则的任何尝试很快会导致不一致。韦尔奇和豪斯顿的反射原则却得到相当大的大基数公理。两者之所以存在如此大的差别，在于他们的反射原则分别取决于他们的潜无穷观和实无穷观。到底哪个更符合真正的集合概念呢?依照当初哥德尔关于公理应当蕴涵在集合的迭代概念之中的说法，克勒纳的潜无穷下的反射原则显然蕴涵在其中。但韦尔奇和豪斯顿的GRP是实无穷下的二阶反射原则，集合的迭代概念不足以支持GRP。如果倾向于支持所有大基数公理都应当蕴涵在集合概念之中，那么这种内在证立的方式就会支持由GRP推导出的大基数公理，并且集合论就不应视为描述集合的迭代概念，而是视为描述康托尔意义上的完成的绝对无穷概念。这意味着绝对无穷概念似乎是真正的集合概念。但这样是否拒斥了集合的迭代概念了呢?并非如此。D.马丁(Donald A.Martin)在分析哥德尔的“概念实在论”时，认为哥德尔的内在证立所依赖的两个要素“数学直觉和数学理解力”采用了两种集合概念的用法:作为对象的集合和作为概念本身的集合。马丁支持后一种用法，而且认为这实际上是一种“集合结构”。按照这样的理解，哥德尔的集合迭代概念产生出来的是“集合结构”，并且如果“集合结构”是同构的，集合的迭代概念就是唯一的①Cf.Donald A.Martin，Gödel's Conceptual Realism，Bulletin of Symbolic Logic，vol.11，no.2，2005，pp.207-224.。如果集合的迭代概念被视为马丁意义上的集合论的范畴性“集合结构”，那么绝对无穷概念和集合的迭代概念只是集宇宙V的外延和内涵。但是在外延的意义上，GRP并非描绘范畴性的集合结构，而是旨在表达作为完成的绝对无穷概念V的超越性。其结果是，GRP蕴涵在这个绝对无穷概念之中，同时因为这个绝对无穷不可言说，GRP表达的这种超越性只是认识论意义上的，而不是本体论意义上的。