黄丽琼　秦新强

摘要：本文以高等数学为背景，将悖论设计成问题链引入课堂教学中，在教学实践中提高学生学习高等数学的兴趣及技巧，进而利用悖论开展问题化自主学习，可以提高学生的学习兴趣，进而提高学校效率。

关键词：悖论；问题链；高等数学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）48-0155-02

一、引言

悖论一词源于古希腊，是逻辑学名词，主要指表面上能自圆其说的命题，但在逻辑中却相互矛盾，悖论常以矛盾为表现形式，每当悖论出现时，人们传统的观念就受到了强烈的冲击，因此，科学上每一个重大悖论的推翻，都伴随着一个新理论的到来。

本文所探讨的悖论教学法与传统的讲授教学法不同，它是指把悖论适当地引入到教学课堂中，首先在课堂上提出一个悖论A，然后组织学生讨论与质疑悖论A，再引导学生由已有的知识B否定悖论A，最后得出新结论C。这种教学方法使整个课堂教学过程中充满悬念，让学生的思维接受挑战，让学生的潜能得到充分挖掘，让学生始终处于一个主动思考与学习的状态，而教师只起到一个组织、引导和启发的作用，学生在一个个问题中既解决了悖论又学到了新的知识，从而加深了学生对知识的记忆力，提高了学生的学习兴趣，促进了学生的学习能力与思维能力。正是在这样不知不觉的过程中，学生们慢慢进入了预创的课堂情境，学生在引入悖论的课堂中，非但没有使思维陷入误区，反而使得学生想清楚了很多问题，激发了学生学习的兴趣和积极性。

二、悖论教学法在高等数学教学中的应用价值

1.提高学生数学学习的兴趣和积极性。传统高等数学教学过程枯燥乏味，数学理论知识和题目对学生没有吸引力，学生在课堂上注意力不集中，学习兴趣低下，数学课堂教学效果差。实施悖论教学法，能够让学生产生认知上的失调，这样反而激发了学生的学习兴趣和学习动力。教师通过引入悖论在课堂中创设新的教学情境，使其与学生原有的知识体系、知识结构产生矛盾，这种冲突带来思维上的刺激，激发了学生学习和探索的兴趣。学生通过悖论教学过程认识到源于生活的数学，而不仅仅是书本上枯燥的理论和公式。

2.帮助学生理解数学的本质和内涵。数学知识本身具备很多种属性，学生的数学知识学习过程是从表面情况到本质内涵的逐渐认知过程。高等数学中很多数学概念是以无限结构为基础建立起来的，相对来说比较抽象难理解，逻辑结构复杂，要想理解其中的内涵并不容易。悖论的课堂教学过程对学生的思维进行了辨析等方面的练习，增强了思维的冲击力和曲折感，学生对数学知识的理解逐渐从表层进入本质内涵。学生在理解数学知识的同时也加深了知识的拓展和运用，在实际教学过程中，对“悖论”的思索过程也是知识的运用和拓展过程。

三、悖论在高等数学课堂中的教学实践

悖论教学法可分为三个阶段：第一阶段，根据教学目标，收集悖论素材；第二阶段，设计教学场景，引入悖论；第三阶段，正确引导学生分析问题，否定悖论。

例如，在一次课堂设计中，学生已经学习了有限、无限、极限的概念，但由于有时候会忽略这些问题的使用范围，所以运用起来容易导致悖论。在课堂教学中首先引入这样一个悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB的中点C，随后需要到达CB的中点D，再随后要到达DB的中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。这个问题的提出引起了学生极大的兴趣，立马有学生在课堂上做起实验来，但是学生从逻辑的角度并不能指出这个问题错在哪里，那么接下来教师带领着大家给出分析的过程：二者的距离可以无限趋近，那个极限值是可以求出的，但超过了极限值，量变便产生了质变，而悖论本身只是针对极限值之前的物理过程分析的，通过这个实例，我们再引出无限项求和的可能性，进而引出其基本思想方法，从而得到良好的课堂效果。同样，在高数的解题过程中，有时候可能会因为一些虚假的前提而对问题判断错误，此时可引入这样一个悖论：有3个人去投宿，一晚30元。三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板，后来老板说今天优惠只要25元就够了，拿出5元命令服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元，然后把剩下的3元钱分给了那三个人，每人分到1元。这样，一开始每人掏了10元，现在又退回1元，也就是10-1=9每人只花了9元钱，3个人每人9元，3×9=27元+服务生藏起的2元=29元，请问，还有一元钱去了哪里？接下来分析：每人所花费的9元钱已经包括了服务生藏起来的2元（即优惠价25元+服务生私藏2元=27元=3×9元），因此，在计算这30元的组成时不能算上服务生私藏的那2元钱，而应该加上退还给每人的1元钱。即：3×9+3×1=30元正好。从这个悖论出发，自然而然的就引出了高数中的分析論证法及倒推法。

四、悖论形成的原因及应用策略

在高等数学教学中，合适、巧妙地运用悖论教学法会得到事半功倍的效果，但是如何搜集教学中需要用到的悖论呢？一方面由于学生是学习的主体，因此学生在课堂学习或课外作业中所出现的错误往往就是我们宝贵的悖论教学资源，这些资源主要可分为以下三类：第一类，对概念理解的不到位、不全面导致的悖论；第二类，机械的套用公式，忽略问题背后的实际意义导致的悖论；第三类，对某些概念先入为主，存在思维定式或思维习惯从而导致悖论。另一方面教师是教学的主导，教师对教学内容准备的不充分或者课堂随机应变能力不足也可导致悖论的产生。

在悖论的应用上，我们可以从三方面将其引入课堂。

第一，根据教学目标设置悖论，导入新课，这种引入能迅速抓住学生的注意力，引起学生的求知欲。

第二，导致悖论，巩固知识。在一些概念、定理容易混淆的地方恰当设置悖论，可以冲击学生原有的知识水平，构建新的知识体系，并且对这些概念有了明确的辨别力和深刻的记忆力。

第三，悖论悬疑，自主学习。在课堂的结束部分，适当设置一些悖论悬疑，让学生始终带着一些问题有利于学生在课后积极思考，查阅文献，拓展相关知识，提高学生的综合素质。

然而悖论教学法只是在特定场合下对悖论进行适当处理，精心设计，使学生在课堂上运用另外一种认识问题、解决问题的方法。悖论本身是一种矛盾性的错误，并不是所有数学概念、原理都适用于悖论教学法，因此我们不必刻意、机械的使每节课都要有悖论，更不必处处为引出问题或解决问题而设置悖论，应该具体问题具体分析，對于学生概念模糊、定理易混淆的地方适当引出悖论，给出学生强烈的思维冲击，让学生在悖论的反驳与论证中学习知识，加深对知识的理解。

五、悖论情境下的问题化自主学习

在讲解第一类型曲线积分中，学生总是对第一类型曲线积分及定积分和二重积分的概念和表达式区别的不是特别清晰，因此在很多题上错误率很多，在此，我们就可以实施以下教学过程。

第二，逻辑推导。两类积分都属于黎曼积分，思路都是分割—求和—取极限，然而定积分的分割是在区间上，第一类曲线积分的分割是在弧长上，所以定积分对dx没有要求正负，而第一类曲线积分则必须要求ds？叟0。

第四，引导总结。第一类曲线积分中的x，y是以点的形式出现的，x，y之间不独立，而重积分中的x，y是相互独立的。

在进行复习总结时，按照这样一个流程进行就会使学生加深印象，很清楚的区分出两类积分的异同，从而达到提高学习效率的目的。

六、结语

悖论教学法是启发式教学的重要方法，它是从矛盾的角度出发，让学生在辩证的思维中解决问题，激励学生学习的内部动力，因此在具体的实施中，要以课程目标为指向，以问题的预设和生成为途径，以提升学生的学习能力和思维能力为目的。

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