黄卫华，周 平

(文山学院 数学学院，云南 文山663000)

粗糙集理论［1］是由波兰科学家Z．Pawlak 于1982 年首次提出的．Pawlak 粗糙集的特点是它处理的分类必须是完全正确的或是肯定的，因此它的分类是精确的，即只考虑完全包含与不包含，而没有某种粗度的包含与属于;并且它所处理的对象是已知的，所以从模型中得到的结论仅适合于这些对象．Pawlak 粗糙集模型的这些特点限制了它的广泛应用．为了弥补该缺陷，许多学者从不同角度推广了这一模型，如程度粗糙集模型、变精度粗糙集模型等［2－6］、多粒度粗糙集模型［7－8］、不确定性度量与决策分析［9－10］等．

1 预备知识

定义1［11］设(U，R)是一个近似空间，假设X(X≠∅)⊆U，则:

分别称为X在近似空间S(U，R)中下近似和上近似，其中［x］R是x所在的R等价类． 称集合posr(X)=(X)为X的R正域为X的R负域称作X的边界域．

引理1［11］令X，Y是近似空间(U，R)的任意两个非空子集，由定义1 给出的下近似(X)和上近似满足下列(对偶)性质:

定义2 设(U，R)是一个近似空间，假设X(X≠∅)⊆U，k为非负整数，称为X的程度k上、下近似，即:，或当)时称X依程度k是可定义的，否则称X依程度k是粗糙的．分别称为X的程度k R正域、R负域．分别称为X的程度k R上边界域、R下边界域和R边界域．

由上述定义可以知道，当元素x的R类元素属于X的个数多于k时，它就属于X的上近似R－k(X);而当元素x的R类元素个数最多只有k个不属于X时，它就属于X的下近似k(X);当k=0 时，近似空间中的粗糙集模型就退化为经典粗糙集模型．

引理2［3］

2 主要结果

程度粗糙集模型是经典粗糙集模型的推广，而经典粗糙集模型是程度粗糙集模型k=0 时的特例．对比两种模型的性质，引理1 中的性质(4)～(8)，在程度粗糙集模型中均成立，而性质(1)～(3)不成立．下面分别从这三个方面来研究程度粗糙集的性质．

定理1 (i

证明 (i)若LbnRk(X)=∅，由定义2 知，则时，即，所以，从而

(ii)若UbnRk(X)=∅，由定义2 知，则当时，即，而，所以，即，从而

反之，假设UbnRk(X)≠∅，即，则，所以，但，此与矛盾，所以，从而

(iii)由结论(i)、(ii)知下证

若LbnRk(X)=UbnRk(X)=∅，由引理2 知:bnRk(X)=UbnRk(X)∪LbnRk(X)=∅∪∅=∅，以上各步等价，所以LbnRk(X)=UbnRk(X)=∅⇔bnRk(X)=∅．

证明 (i)，由 定 义2 知:若，则，此与上式矛盾，所以

(ii)若，有定义2 知:，又由结论(i)知:反之，若，则若［x］R＞k，即，由定义2 知:否则，所以，从而

(iii)(iv)的证明类似结论(i)(ii)．

由定理2 可知，程度k近似算子同上、同下复合时，具有幂等性，而上下相反复合时，取程度k上近似算子后集合变小，取程度k下近似算子后集合变小．

分别称为集合X和Y的程度kR边界下外、上内、下内、上外算子．

本文在近似空间中定义了程度粗糙集和程度边界下外、上内、下内、上外算子，研究了程度粗糙集模型的性质．在程度粗糙集中，利用程度边界算子修正了包含关系为相等关系的性质，并给出了这些结论严格的证明，拓展了粗糙集理论的研究范围．

［1］ Pawlak Z．Rough sets［J］．International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11(5):341－356．

［2］ 张贤勇，谢寿才，莫智文．程度粗糙集［J］．四川师范大学学报，2010，33(1):12－16．

［3］ Ziarko W．Variable precision rough set modle［J］．J Computer and System Sciences，1993，46:39－59．

［4］ 张贤勇，莫智文．变精度粗糙集［J］．模式识别与人工智能，2004，17(2):151－155．

［5］ Zhang X Y，Mo Z W，Shu L．Product approximation of grade and precision［J］．J E lectron io Sciene and Technology of China，2005，3(3):276－279．

［6］ 申锦标，吕跃进．变精度与程度粗糙集的一种推广［J］．计算机工程与应用，2008，44(36):45－47．

［7］ 吴志远，钟培华，胡建根．程度多粒度粗糙集［J］．模糊系统与数学，2014，28(3):165－172．

［8］ 顾力平，杨习贝．基于一般二元关系的多粒度粗糙集模型［J］．南京航空航天大学学报，2013，45(1):124－129．

［9］ 谭旭，毛太田，张少丁，等．基于粒计算的多属性群决策分析［J］．四川大学学报，2013，45(4):140－148．

［10］ 滕书华，鲁敏，杨阿锋，等．基于一般二元关系的粗糙集加权不确定性度量［J］．计算机学报，2014，37(3):649－665．

［11］ 张文修，吴伟志．粗糙集理论与方法［M］．北京:科学出版社，2001:55－56．