杨伍梅，刘 权

(1.益阳职业技术学院， 湖南 益阳 413049; 2.湖南益阳电厂， 湖南 益阳 413000)

0 前言

随着计算机的广泛应用，在科学研究、经济管理和工程设计等许多领域中，常常会遇到怎样使成本最低、利润最大等最优化问题.在数学上往往将这类问题在合理假设下建立相应模型，将之转化为无约束优化问题:minf(x)，x ∈Rn的求解.而拟牛顿法是目前求解无约束优化问题的最成熟，应用最广泛的方法之一，它具有收敛速度快与数值效果好等优点.最常见的拟牛顿法有Broyden 族秩1 校正(R1)法［1］，对称秩1 法(SR1)［1］，BFGS 法［2］，DFP 法［3］，PSB 法［4］.本文就无约束优化问题采用对称秩1 法和BFGS 法进行探讨.

1 两种方法的比较

1.1 对称秩1 法

设目标函数f ∶Rn→R 连续可微，无约束优化问题的基本形式为［3］:对称秩1 法的主要思想是用一个秩 1 矩阵:去校正拟牛顿矩阵，使得所产生的矩阵:

满足拟牛顿方程Bk+1sk= yk.其中sk= xk+1－xk，yk= gk+1－ gk.显然因为其修正矩阵的秩为1，所以矩阵Bk更新很简单;对所有的k，只要初始矩阵B0对称正定，必有Bk对称正定;且Bk≈2f(xk)，因而可使算法产生的方向近似于牛顿方向，算法具有较快的收敛速度［3］.

对称秩1 算法的一般计算步骤如下:

步1 给定点x0∈Rn，终止误差0 ＜ε＜1，初始对称矩阵B0= I，令k ∶= 0.

步2 若‖gk‖ε，则算法终止，输出xk作为近似极小点.

步3 由方程Bkdk+ g(xk)= 0 计算搜索方向dk.

步4 用线性搜索技术求步长因子αk.

步5 令xk+1= xk+αkdk，由对称秩1 公式(2)确定Bk+1.

步6 令k ∶= k +1，转步2.

下面给出Armijor 线性搜索［3］下的对称秩1 算法的程序.

程序1 (对称秩1 算法程序)

1.2 BFGS 算法

BFGS 算法是拟Newton 算法中最有效的方法之一［6］，它是由Broyden、Fletcher、Goldfarb 和Shanno 四人在1970年各自独立提出的.其思想、步……