●吴斌 王怀明(会宫中学安徽枞阳246740)

也谈曲线切点弦的处理方法

●吴斌 王怀明(会宫中学安徽枞阳246740)

文献［1］由一道测试题提出一个问题:过圆外一点作圆的2条切线，如何求2个切点所在直线的方程?然后通过对大纲版教材和人教A版教材处理方法的比较，得出结论:大纲版教材的处理方法(即下面的解法1，笔者注)“求解思维转弯多，且对圆的一般位置需要另行推理，这对学生而言，有一定的困难”;人教A版教材的处理方法(即下面的解法2，笔者注)“优于大纲版教材，主要表现在计算快、转化少，突出圆的地位而淡化切(直)线方程”.

事实真的是这样吗?本文先列举文献［1］中的2种解法，并增加解法3;然后通过解法的应用，比较3种解法，得到不同解法的适用范围.

1 解法呈现

为了方便说明，将文献［1］中的问题一般化:

过圆C:x2+y2=r2外一点A(x0，y0)作圆的2条切线，切点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，求切点弦PQ所在的直线方程.

解法1因为圆C在点P(x1，y1)处的切线垂直于OP，当x1y1≠0时，，所以圆C在点P处的切线斜率为，方程为

当x1=0或y1=0时，切点弦也满足方程

同理圆C在点Q(x2，y2)处的切线方程为

而点A(x0，y0)在切线上，有

这说明点P，Q的坐标满足x0x+y0y=r2，因此切点弦PQ的方程为x0x+y0y=r2.

解法2由题意知，OP⊥AP，OQ⊥AQ，因此，点P，Q在以AO为直径的圆上.设点M(x，y)是以AO为直径的圆上任意一点，则

即以AO为直径的圆的方程为

由题意知点P，Q既在圆C上，又在以AO为直径的圆上，x(x－x0)+y(y－y0)=0与x2+y2=r2相减得x0x+y0y=r2，因此切点弦PQ的方程为

解法3当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则过点P(x1，y1)的切线方程为

同理可得圆C在点Q(x2，y2)处的切线方程为

而点A(x0，y0)在切……