聂建军 （中原工学院机电学院，河南 郑州450001）

吴笑伟 （河南交通职业技术学院汽车学院，河南 郑州450005）

变异五杆切削机构的合成运动轨迹丰富，能够实现各种异形断面的切削以满足实际隧道的需要，因而可以作为异形盾构切削的高精度、高转速、高负载且柔性较大的多自由度闭环混合驱动机械系统［1～5］的运动机构。由于该机构属于阿苏尔运动链或阿苏尔组（阿式分类Assur group）的二级机构［6，7］，能够采用解析法得到机构中已知的尺寸参数、运动变量与未知的运动变量之间的数学关系式［8，9］，把机构分析与机构综合相联系，以便对该机构进行更深入的研究。下面，笔者应用杆组理论对混合驱动变异五杆切削机构进行运动学分析，建立其运动学模型，以获得该机构的输出运动与输入运动的位置、速度及加速度之间的关系，为进行切削机构动力学分析奠定基础。

1 复数矢量法

复数矢量法是公认的用于复杂多杆平面连杆机构运动分析的最好方法，以机构各杆件作为向量［10］，把在复平面上的连接过程用复数形式加以表达，对包括结构参数和时间参数的解析式对时间求导后，即可得到机构的运动性能。

1.1 矢量的复数表示

平面内的点与矢量一一对应，而平面内的点与复数也是一一对应的，故可以建立复数与平面矢量之间的一一对应关系。

设单位矢量以复数表示为：

图1中所示的矢量可表示为：

图1 复数矢量及其导数

式中，r为矢量的模；θ为的幅角（逆时针为正）；为矢量在实轴（x轴）上的投影；为在虚轴（y轴）上的投影。

1.2 复数矢量的导数

M点的速度vM和加速度aM分别为式（2）对时间的一阶导数和二阶导数：

式（3）的运动学意义表明，M点的速度vM由2部分组成：第1项表示径向速度，第2项表示切向速度。式（4）的运动学意义表明，M点的aM由4部分组成：第1项和第2项表示径向加速度，第3项和第4项表示切向加速度。如果M为滑块上的点，且该滑块沿转动导轨OM移动，则第1项表示M相对导杆OM的相对加速度，第2项表示牵连向心加速度，第3项表示哥氏加速度，第4项表示牵连切向加速度。

2 变异五杆切削机构运动学分析

采用复数矢量法进行机构运动分析，需要首先在给定的机构示意图中画封闭矢量回路图，然后按封闭矢量以复数形式得到机构位置矢量方程，并依次将位置方程对时间求一阶、二阶导数即可得到速度和加速度矢量方程，即先进行位置分析，再进行速度分析和加速度分析，可以最大限度地减少未知变量个数，且方程形式简单，易于求解。

图2所示为变异五杆切削机构示意图，取铰链A为坐标系原点，建立直角坐标系xAy。杆l1由常速电机驱动，杆l4由可控电机驱动，P点为输出点，则其轨迹方程为：

2.1 变异五杆切削机构的位置方程分析

各构件的尺寸参数l1、l2、l3、l4、l5、l6和2原动件l1、l4的运动学参数，即相位角θ1和θ4、角速度和、角加速度和为已知条件。

1）以 Ⅱ 级杆组ABC分析B、C点及θ1、θ2。B点的位置方程为：

图2 混合驱动变异五杆切削机构

ABC回路的复数矢量方程为：

将式（7）沿坐标轴x、y方向分解，则得到C点的位置方程：

亦即：

由图2得：

2）以Ⅱ级杆组ABP分析P点及θP。ABP回路的复数矢量方程为：

将式（12）沿坐标轴方向分解为标量形式，则得P点的位置方程：

亦即：

由图2得：

式中，θP＝arctan2（xP，yP）表示双辐角反正切函数；sgn（yP）表示符号函数：

3）以Ⅱ级杆组CDE分析D点及θ3、θ4。D点的位置方程为：

由图2得：

将式（20）代入式（17）得D点位置为：

2.2 变异五杆切削机构的速度方程分析

1）以Ⅱ级杆组ABC分析B、C点的速度。将式（6）和式（8）分别对时间求一阶导数得B点和C点的速度方程分别为：

2）以 Ⅱ 级杆组ABP分析P点的速度及。将式（13）对时间求一阶导数得P点的速度方程为：

将式（12）对时间求一阶导数得：

根据式（1），分离式（25）的实部和虚部并整理得：

用克莱姆法则解方程组（26）得：

3）以Ⅱ级杆组CDE分析D点速度及。将式（17）对时间求一阶导数得D点的速度方程为：

CDE回路的复数矢量方程为：

将式（30）对时间求一阶导数得：

根据式（1），分离式（31）实部和虚部并整理得：

列出ACE回路的复数矢量方程：

将式（33）沿x、y方向分解为标量形式得：

将式（34）对时间求一阶导数得：

由式（35）和式（32）得：

用克莱姆法则解方程组（36）得：

2.3 变异五杆切削机构的加速度方程分析

1）以Ⅱ级杆组ABC分析B、C点的加速度。将式（6）对时间求二阶导数得B点的加速度方程为：

将式（8）对时间求二阶导数得C点的加速度方程为：

2）以Ⅱ级杆组ABP分析P点加速度及¨θP、¨θ2。将式（13）对时间求二阶导数得P点的加速度方程为：

将式（12）对时间求二阶导数并整理得：

由式（1），分离式（42）的实部和虚部得：

式中：

用克莱姆法则解方程组（43）得：

3）以Ⅱ级杆组CDE分析D点加速度及。将式（17）对时间求二阶导数得D点加速度方程为：

将式（30）对时间求二阶微分并整理得：

由式（1），分离式（47）的实部和虚部得：

式中：

用克莱姆法则解方程组（48）得：

3 结语

利用复数矢量法对异形盾构变异五杆切削机构进行了运动学分析，推导了变异五杆切削机构的位置方程、速度方程和加速度方程，得到了输出运动与输入运动的位置、速度以及加速度之间的关系。在后续的研究中，将根据不同异形断面切削的实际需要进一步分析可控电机的运动规律，并在此研究基础上进行该机构的运动学仿真模拟，为该机构的实际运用提供技术支持。

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