葛维冬，许德章∗

PVDF 触觉传感器动态补偿器的设计

葛维冬1，2，许德章1，2∗

（1.安徽工程大学机器人产业技术研究院，安徽芜湖 241000；2.安徽工程大学先进数控和伺服驱动技术安徽省重点实验室，安徽芜湖 241000）

为了解决PVDF压电薄膜测量低频信号失真大、泄漏快和阻抗匹配难等问题，首先探讨了PVDF的工作机理，继而在频域内使用高效的最小二乘算法设计了一款Hammerstein动态补偿器模型.仿真结果表明，该动态补偿器模型能快速有效地补偿PVDF传感器低频失真，使PVDF压电膜在低频领域的应用成为可能.

动态补偿器；PVDF；傅立叶变换；多项式；最小二乘算法

近年来，对于多指灵巧手的研究日渐深入，在控制策略和机电结构方面取得了一定的成就［1］.然而，在实现可靠的抓取过程中，除了视觉导引和位置反馈，还需要对所施加的力、力矩和滑动信号进行测量反馈［2］.对于未知物体还需要获得关于物体的形状、尺寸、表面状态和组织等信息，这就需要触觉传感器［3］.

实现触觉传感的敏感材料有很多，压电薄膜PVDF（Polyvinylidene Fluoride）就是一种比较理想的材料［4］.它具有很高的压电能力，具有宽频带、高介电强度等特性，同时还具有柔韧、极薄、质轻和高韧度等机械特点，可以制成多种厚度和较大面积的阵列元件.在触觉应用中，存在的主要问题表现为：不能测量纯静态信号，频带下限为0.001 Hz.特别是对于低频信号，由于不同频率分量对应有不同的幅值失真，在时域上表现得失真严重.

针对上述缺陷，设计了一款动态补偿器，能有效补偿信号通过PVDF后引起的低频失真，使PVDF压电膜在低频领域的应用成为可能.

1　PVDF的工作机理

根据PVDF压电膜的技术资料可知，一个PVDF传感器的等效电路可表示为1个电压源同1个电容串联，如图1所示.该电路的幅频特性关系如式（1）所示，其特性曲线如图2所示.

根据式（1）和图2可以看出，该幅频特性曲线其实是1个高通滤波器，其中，ωn为频率变量，ωc是高通滤波器下限截至频率，该值是由传感器本身的电容值C0和后续放大电路的输入阻抗RL决定.这里的电容值C0是根据压电膜的厚度、面积和介电常数决定的，其值是3.98 p F，输入电阻即是后续放大电路的输入阻抗，其值大小为2∗109Ω，因此可以确定该PVDF的下限截至频率是20 Hz.

式中，U（t）为阶跃信号；d33为压电应变常数；τ=RLC0是PVDF生成的力激励响应电荷的时间常数. PVDF产生的电荷量随时间常数τ=RLC0以指数规律衰减，这是由放大器和传感器的泄漏造成的，因此，

为了直观地了解PVDF的输入输出特性，在PVDF垂直方向加载阶跃信号作为输入信号，此时可以得到输出电荷与时间的关系为［5］：PVDF做静态力测量具有缺陷，但并不意味着对此无能为力.准静态力的电荷放大器可用极高的输入阻抗RL与传感器内阻进行匹配，匹配的原理就是使τ=RLC0在较高的值上，降低传感器高通滤波器的下限截至频率［6］.根据式（2），增大时间常数可以使传感器信号泄漏得更慢，以便后续电路的采集与测量.

但极高的输入阻抗会给测量系统带来更大的噪声干扰，影响测量精度.另外一种更好的方法是数据处理时进行补偿.

2　PVDF压电传感器动态补偿器的工作原理

增大τ虽然能降低传感器的下限截至频率，但在实际应用中，由于触觉传感器通常的工作是对物件的抓取.此处用梯形信号仿真抓取过程，梯形信号的上升沿、保持、下降沿分别对应灵巧手抓取、夹持、释放3个状态.

梯形信号经过PVDF压电膜前后的频谱图如图3所示.其中，右三角标记的曲线为梯形信号的频谱曲线，可以看出，抓取产生的信号大部分是低频信号.点画线是PVDF传感器的幅频特性曲线.左三角标记的曲线则是信号经过PVDF传感器后的频谱曲线.在频域中可以看出，梯形触觉信号在经过PVDF传感器后，丢失了绝大部分的低频成份.

梯形信号经过PVDF压电膜的仿真结果如图4所示.其中实线是原始信号，点画线表示信号经过PVDF传感器后的失真信号.在时域中可以发现梯形触觉信号在通过下限截至频率为20 Hz的高通滤波器后，造成了极大的失真.

基于上述仿真结果，本系统采用动态补偿器对其信号进行矫正.

借鉴Hammerstein预失真器模型，从数学建模角度进行探索［7］.记输入信号x（t），输出信号为z（t），t为时间变量，则PVDF输入输出非线性在数学上可表示为z（t）=G（x（t））.其中，G为非线性函数.动态补偿的基本原理是：在PVDF传感器薄膜后设置一个动态补偿处理模块，两个模块的合成效果使整体输入-输出特性线性化，消除高通滤波器带来的影响.原理框如图5所示.

其中，x（t）和z（t）分别代表信号输入和输出，Y（s）为信号经过PVDF后的输出频谱.设PVDF输入-输出传输特性为G（），动态补偿器特性为P（），那么动态补偿原理可表示为

P·G=L表示P（）和G（）的复合函数等于L（）.线性化则要求：

式中，常数g是信号频谱的输入输出线性关系.因此，若系统幅频特性G（）已知，则动态补偿技术的核心是寻找动态补偿器的特性P（），使得它们复合后能满足

式中，G（）是PVDF高通滤波器的输入输出特性曲线，其表达式为：

Amp（ωn）则是高通滤波器的幅频特性曲线，也是G（）函数的斜率，如图6所示.根据式（7）可以求得P（）.动态补偿器的具体原理如图7所示.

Step 1：1.X（s）→2.G（X（s）），此处取X（s）=16 Hz，此时系统输出G（X（s））=9.995，说明PVDF高通滤波器在16 Hz时，输出幅值和输入幅值的比值k如式（9）所示.其k=0.672＜1，说明16 Hz这个频率点上，输出幅值小于输入幅值.

Step 2：将第一步得到的结果2.G（X（s））作为动态补偿器的输入，得到经过动态补偿器后的信号输出，其关系为：

Step 3：将前两步的结果映射到系统线性输出特性曲线上，得：

也就是说，加入动态补偿器后，整个系统在频域上是个线性系统，输出和输入的比值始终保持在g=0.795，此时，只要将Z（s）除以g，再进行傅立叶逆变换（见式（12）），就能补偿信号经过高通滤波器所带来的失真.

3　动态补偿器模型的建立

根据式（6），模型的目标误差函数为

考虑到动态补偿器的模型输出幅度应小于或等于给出的系统输入频率最大值，则得出优化问题为：

目标函数是使误差函数极小，在分析这个优化问题时，可以先假定目标函数能够取到最小，即：

记H：G（ω）→x，ω→y，则y=H（x）=G-1（x），所以

由于G是高通滤波器的特性是确定的（见式（8）），其反函数的模型可以用多项式拟合，即：

其中

考虑到动态补偿器是凸函数，如图7所示，故取拟合幂级数如式（20）所示，N为曲线拟合点数，式（17）可采用最小二乘方法进行拟合.

3.1最小二乘方法求解

最小二乘方法产生于数据拟合问题，它是一种基于观测数据与模型数据之间的均方差最小来估计数学模型中参数的方法.输入数据x与输出数据y之间大致服从如下函数关系：

式中，c∈Rn为待定参数，要估计参数x的值，要进行多次实验取得观察数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），然后基于模型输出值和实际观测值的均方差最小求参数a，这就是最小二乘原理.

在本研究中，根据式（17）引入函数：

并记

则最小二乘问题即为：

如果最小二乘问题中的模型函数估计准确，那么最小二乘问题的最优值是很靠近零的.因此r（y）常称作残量函数.对于线性最小二乘问题，残量函数可以表示为：

考虑到二次凸函数的稳定点即为最小值点，可以直接得到c的求解公式，即：

将其回代至式（16）和式（17），最终可以解得：

其中，W=（ω，ω1/2，ω1/3，ω1/4，ω1/5）.

另外，在约束条件中，要使‖P（ω）‖∞尽可能靠近‖ω‖∞，那么，约束条件都可归为：

其中，e为尽可能小的正常数，下面就是解决该优化问题的算法.

3.2动态补偿器迭代算法设计

初始化：j=2，g=1，给定一个判断容限e；

Step 2：求y=H（x）和P（ω）=g·G-1（x）=g·ω；

Step 3：比较‖ω‖∞，‖P（ω）‖∞，若‖P（ω）‖∞≤‖ω‖∞则判断

A2.否则stop，输出gj；

阶跃信号在加入动态补偿器的前后对比图如图8所示.从图8b可以看出，信号经过高通滤波器后失真严重.图8c中左三角标记的是经过动态补偿器后还原出的信号频谱，跟原信号的频谱（右三角标记的曲线）几乎是一样的，唯一有区别的就是零频率点不同.那是因为信号经过高通滤波器后，零频率点信号完全被滤掉，从而无法恢复.零频率点是信号的直流分量，因此，从图8d可以看出，信号形状能有效地矫正回来，但由于丢失了直流分量导致了信号的上下平移.

图9和图10分别是动态补偿器对低频正弦信号和三角波信号的响应.

4　结论

设计动态补偿器可以对PVDF传感器已泄漏的信号进行有效补偿，因此，在后续放大电路中运用可以不考虑传感器阻抗匹配问题.该动态补偿器具有下述特点：对于不包含直流分量周期信号，动态补偿器能完全补偿PVDF传感器引起的失真；对于包含直流分量的非周期信号，动态补偿器能恢复信号的形状，但会引起信号的上下平移，即无法补偿所丢失的直流分量.但在实际应用中，由于PVDF传感器在不受力时，其输出信号为零，即信号的最小值处于零点位置，据此可以将信号的最小值偏移至零点处.综上所述，设计的动态补偿器能有效解决PVDF传感器信号低频失真的难题，同时也可避免后续放大电路阻抗匹配的难题.

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［7］ 闫彩明.自适应预失真器的设计与实现［D］.成都：电子科技大学，2012.

Design of post-distorter about PVDF tactile sensors

GE Wei-dong1，2，XU De-zhang1，2∗
（1.Institute for Robot Industrial Technology of Anhui Polytechnic University，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China；2.Anhui Key Laboratory of Advanced Numerical Control&Servo Technology，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Since the PVDF film has some problems like large distortion，fast leakage for low frequency signal measurement and difficulty in impedance matching，this paper firstly discussed the working mechanism of PVDF.Then，the post-distortion model has been designed by using the least squares algorithm in frequency-domain.It is confirmed by computer simulation that the Hammerstein post-distorter could efficiently compensate the low-frequency distortion conducted by the PVDF sensors，which makes it possible for PVDF film to be applied in the low frequency domain.

post-distorter structure；hammerstein post-distorter；polynomial；least squares algorithm

TP 212.1

A

1672-2477（2015）02-0048-07

2015-03-18

国家自然科学基金资助项目（51175001）

葛维冬（1989-），男，浙江临海人，硕士研究生.

许德章（1964-），男，安徽芜湖人，教授，硕导.