李东

1 缘起——一种思路的意外受挫

一次单元测试，有这样一道源自课本复习参考题的改编题：

如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=a，AD=2a，E是AD边上一点，nDE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

（2）如果四边形BFEG与矩形ABCD的面积比为17∶30，求n的值.

笔者所教的初二（8）班49人中，有15人在第（2）问这样受挫：将面积比化为线段比求得EF=1715a，进而表示出AF=1315a-2na，在△ABF中由勾股定理得（1315a-2na）2+a2=（1715a）2，其中11人正确整理得到一元二次方程（还未学习）而止步，另外4人整理出错.反观那些正确获解的学生：正确求得EF后，在△ABF中先算出AF=815a，再算得AE=53a，DE=13a，从而轻松算得n=6.两种思路只是在勾股定理的用法上有区别，但效果反差很大，给人的表象是受挫的学生运算能力或变通（可以回避一元二次方程）意识较差，而正确获解的学生更灵活.

2 分析——两种思路的思维层次

2.1 两种思路的思维层次识别

文[1]将求解代数问题的解法分为程序性解法和结构性解法.程序性解法是指解题途径呈明显的算术特征，即寻找一个或多个算法达到用已知量计算出未知量的目的；结构性解法是指解题途径呈现结构（非算术）特征，即首先寻找量与量之间的相互关系，再运算求解.

上面学生两种解法中，思路1（由已知条件→BF（EF）→AF→AE→DE→n）受算术思维（算出）的影响，解题活动总是有一种直觉性的思考，由已知条件“能求出什么”？“再能求出什么”？通过不断地“求出”，扩大已知的范围，就是这种单一的思维倾向（由已知推向未知的综合……