余清华，邱 斌，高申翔，夏 伟，丁风海，王琳娜

（中国卫星海上测控部，江苏　江阴　214431）

失配误差的蒙特卡洛分析

余清华，邱 斌，高申翔，夏 伟，丁风海，王琳娜

（中国卫星海上测控部，江苏江阴214431）

针对极限相位法评定失配误差引入的测量不确定度普遍偏大的问题，提出了采用蒙特卡洛法对其评定的新方法。以交替比较法校准功率座为实例，研究了蒙特卡洛法评定失配误差引入的测量不确定度的具体实现方法，并将其得到的结果与极限相位法进行比较。结果表明，蒙特卡洛法更适合用于失配误差引入的测量不确定度进行评定。

计量学；失配误差；极限相位法；蒙特卡洛法；不确定度

1　引言

在高频和微波功率的测量和校准中，由于测量和校准系统的特性阻抗与被校功率座的输入特性阻抗不可能完全匹配，因此，失配误差无法避免，且失配误差通常是主要的误差来源［1］。失配误差的表达式是复变量分式，计算非常复杂，常用的处理方法是忽略失配对测量结果的影响，只在测量结果不确定度评定时再将其引入，即通过极限相位关系估算其误差限（简称极限相位法），并默认其服从反正弦分布。这样处理虽能严格满足不确定度评定的适用性，但无疑会使不确定度在一定程度上放大，从而导致仪器的测量能力得不到真正体现。针对此问题，本文提出了采用蒙特卡洛法（MCM）对失配误差进行计算的新方法，将两种方法得到的失配误差进行比较，分析对测量结果不确定度的影响，并讨论采用蒙特卡洛法替代极限相位法的可行性。本文将以交替比较法测量功率座校准因子过程中产生的失配误差为基础展开讨论分析。

2　交替比较法校准功率座［2］

交替比较法是利用高一级的标准功率座（已知校准因子）校准被校功率座，其原理框图如图1所示。校准程序是：将标准功率计和被校功率计交替接到稳幅信号源上，信号源输出保持不变，那么被校功率计所吸收的功率Pbu和标准功率计所吸收的功率Pbs存在特定关系，从而得到被校功率计的校准因子。

被校功率座校准因子如式（1）所示：

式中，Ku为被校功率座校准因子，Ks为标准功率座校准因子，Pbu为被校功率座直流替代功率，Pbs为标准功率座直流替代功率，Γ1为等效信号源电压反射系数，Γs为标准功率座电压反射系数，Γu为被校功率座电压反射系数。

图1　交替比较法原理框图

定义失配误差M为：

3　失配误差的极限相位分析

对于失配项M，目前通用的处理方法是：令M =1，即将失配的影响不计入测量结果，然后在测量结果的不确定度评定时，再将其引入。在评定测量结果不确定度时，利用极限相位关系得到失配的误差限。

根据式（2），考虑各反射系数的极限相位组合，则

因为各反射系数的模值远小于1，所以它们的乘积远小于1，因此可以利用幂级数展开式

将式（4）、式（5）化成积式并舍去二次以上的项目，得

则M引起的Ku的相对误差分布范围是

认为ΔKu服从反正弦分布，在置信概率p= 100％时，M引入的相对标准不确定度分量为

4　蒙特卡洛法介绍［3］

蒙特卡洛法（MCM）是一种通过重复采样实现分布传播的数值方法，与GUM法利用线性化模型传播不确定度的解析方法不同，MCM法通过对输入量Xi的PDF离散采样，由测量模型传播输入量的分布，计算获得输出量Y的PDF的离散采样值，进而由输出量的离散分布数值直接获取输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。蒙特卡洛方法的实施步骤如下。

4.1MCM输入

（1）定义输出量Y，即需测量的量；

（2）确定与Y相关的输入量X1，…，XN；

（3）建立Y与X1，…，XN之间的模型Y=f（X1，…，XN）；

（4）根据可用信息，为Xi设定PDF——正态分布或者均匀分布等；

（5）选择蒙特卡洛试验样本量的大小M。

4.2MCM传输

（1）从输入量X1的PDF gXi（ξi）中抽取M个样本值xir，i=1，2，…，N；r=1，2，…，M；

（2）对每个样本矢量（x1r，…，xnr），计算相应Y的模型值yr=f（x1r，…，xnr）；r=1，2，…，M。

4.3MCM输出

4.4报告结果

（1）由G计算Y的估计值y及y的标准不确定度u（y）；

（2）由G计算在给定包含概率p时的Y的包含区间［ylow，yhigh］。

5　实例分析

用矢量网络分析仪ZVA24分别对标准功率计、被校功率计和信号源（带隔离衰减器）分别进行反射系数和相位的测量，重复测量10次，每次测量均断开后重新连接，将测量数据统计分析得到的数据如表1所示（反射系数为无量纲量）。

5.1失配引入测量不确定度的极限相位分析

将表1中反射系数的均值代入到式（10）中，计算得到极限相位模式下M引起的测量不确定度σM，得到的σM如表2所示。

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表1　实际测量数据的统计值

表2　极限相位法得到的相对不确定度分量

5.2失配引入测量不确定度的蒙特卡洛分析

（1）数学模型的建立

输出量与输入量的数学模型如式（3）所示。

（2）为各输入量设定概率密度函数

由式（3）可分析得到，失配误差M依赖于6个独立分布的量：Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs。Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs均服从正态分布，其主要的不确定度均来源与两项：一是测量重复性引入的不确定度；二是ZVA24技术说明书中给出的测量反射系数和测量相角的不确定度。根据测量点的频率和测量得到的反射系数（反射系数换算成dB单位，均在-10～-45 dB之间），查阅技术手册得到测量反射系数和测量相角的不确定度分别为＜0.1 dB和＜1°，由于技术手册未给出其分布状态和置信因子k值，这里假设均服从正态分布，置信水平为95％，k=2。将0.1 dB进行换算，换算公式如式（11）所示。各输入分量的合成如表3所示（以频点6 GHz为示例）。

根据表1和表3得到各输入量的分布：Γ1服从N（0.263，（0.00315）2）的正态分布；θ1服从N（54.4，（0.735）2）的正态分布；Γu服从N（0.0077，（0.00046）2）的正态分布；θu服从N（34.8，（3.65）2）的正态分布；Γs服从N（0.0134，（0.00125）2）的正态分布；θs服从N（66.4，（1.695）2）的正态分布。

表3　Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs的分布

（3）分布的传递和结果的总结报告［4～6］

本文利用Matlab软件的强大计算功能进行编程计算，Matlab程序如下：

randn（‘state'，0）％将正态分布发生器复位；

N=1000000 ％设置试验的次数为106，一般情况下的默认试验次数；

R1=randn（1，N）％产生0～1范围内的M个服从标准正态分布的随机数；

S1=0.263+R1*0.00315 ％产生M个服从N（0.263，（0.00315）2）分布的Γ1；

R2=randn（1，N）％产生0～1范围内的M个服从标准正态分布的随机数；

S2=（54.4+R2*0.735）*pi/180 ％产生M个服从N（54.4，（0.735）2）分布的θ1；

… ％各个参数依次产生；

S6=（66.4+R6*1.695）*pi/180 ％产生服从N（66.4，（1.695）2）分布的θs；

A=（1-S1.*S3.*cos（S2+S4））2+（S1.* S3.*sin（S2+S4））2％产生失配因子M的式（3）的分子；

B=（1-S1.*S5.*cos（S2+S6））2+（S1.* S5.*sin（S2+S6））2％产生失配因子M的式（3）的分母；

M=A./B；％计算失配因子M；

［mean（M），std（M）］％计算均值和方差

［prctile（M，2.5），prctile（M，97.5）］％求出置信概率为95％的分布上下限；

hist（M，100）％将M均匀划分成100个区间，计算每个区间出现的频率数，并画图；［min （M），max（M）］％求出M的最大值、最小值。

图2　M的区间-频率分布图

表4　各频点M的均值

表5　各频点M引入的相对误差范围（％）

从表4可以看出，M的大小并不为1，因此极限相位法将M假设为1会引起测量结果的偏离，引起的相对误差范围为（-1.0％，1.14％）。从表5可以看出，在置信概率相同（100％）的情况下，MCM法计算得到M引起测量结果的相对误差限明显小于极限相位法得到的结果。实际上，在进行不确定度评定时，通常选择置信概率为95％。在置信概率为95％的情况下，MCM法计算得到的由M引起的测量结果的相对误差限相对于极限相位法基本上可忽略不计。

综上所述，在对M引入的测量不确定度进行评定时，MCM法是一种更为合适的方法。相对于极限相位法，即使不考虑将M假设为1带来的偏差，MCM法得到的结论也更为精确，因为每个反射系数的相角只会在某个固定值附近波动，不可能在实际测试中出现在-180°～180°整个范围内波动的情况。且反射系数的测量的不确定度也是相当小的，假设反射系数和相角的测量不确定度都是最坏情况（ZVA24在最坏的情况下，测量相角的不确定度为6°，反射系数的测量不确定度为1 dB，即6％），以6 GHz频率点为例，选择置信概率100％，用MCM法得到M引起的测量结果的相对偏差为（-0.31，0.26），比极限相位法得到的小1/3以上。因此，MCM法更适合于失配引起的测量不确定度的评定。

6　结论

本文以交替比较法校准功率座为实例，分别用极限相位法和MCM法对失配误差M引入的相对测量不确定度进行评定，对比结果表明，MCM法明显优于极限相位法。该法有效避免了由于近似而引起的偏差，无需通过放大不确定度来保证不确定度评定的有效性，是一种模拟随机过程纯数值计算方法，可以更真实地反映仪器的测量水平。因此，建议使用MCM法对失配误差引入的测量不确定度进行评定，特别是失配误差是测量结果不确定度的主要来源时。

［1］高申翔，石明华，韩璐，等.失配误差的计算机辅助分析与评定［J］.计量技术，2012，（10）：19-21.

［2］王志田.无线电电子学计量（上册）［M］.北京：原子能出版社，2002，26-27.

［3］国家质量监督检验检疫总局.JJF 1059.2—2012用蒙特卡洛法评定测量不确定度［S］.

［4］陈怀艳，曹芸，韩洁.基于蒙特卡洛法的测量不确定度评定［J］.电子测量与仪器学报，2011，25（4）：301 -308.

［5］张海滨，王中宇，刘智敏.测量不确定度评定的验证研究［J］.计量学报，2007，28（3）：193-197.

Monte Carlo Analyze of Mismatch Error

YU Qing-hua，QIU Bin，GAO Sheng-xiang，XIA Wei，DING Feng-hai，WANG Lin-na
（China Satellite Maritime Tracking and Control Department，Jiangyin，Jiangsu 214431，China）

A Monte Carlo method is proposed for mismatch error due to the comparatively big uncertainty brought by extreme phase method.As the alternative comparison method to calibrate power sensor for the example，specific realization method of measurement uncertainty resulted by mismatch error from Monte Carlo method was researched，and the results obtained was compared with extreme phase method.The results show that Monte Carlo method is relatively more suitable for evaluating the uncertainty resulted by mismatch error.

Metrology；Mismatch error；Extreme phase method；Monte Carlo method；Uncertainty

TB973

A

1000-1158（2015）01-0092-05

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.20

2013-06-04；

2013-11-26

余清华（1984-），男，湖北赤壁人，中国卫星海上测控部工程师，主要研究无线电计量、自动化测试、电磁兼容等。yuqinghua005@sina.com