伍春兰　葛晓红

（北京市北京教育学院，北京100120；北京市北京东城区教师研修中心，北京100009）

七年级有理数乘方引入的对比分析

伍春兰葛晓红

（北京市北京教育学院，北京100120；北京市北京东城区教师研修中心，北京100009）

对比分析了三位教师的有理数乘方概念的引入，肯定优点，分析不足，指出探究概念必要性、合理性和归纳概括的重要性，并提出了若干改进建议.

有理数乘方 幂

从七年级各版本教材看，有理数乘方都安排在学生学习有理数的加、减、乘、除四种运算以后.加、减、乘、除四则运算学生在小学就已熟悉了，只不过数的范围限定在非负有理数.因此从某种意义上说，乘方是初中学的第一种全新的运算.有理数乘方内容虽新却不难，因为它是由旧知识的引申得来的（特殊的乘法）.

有理数乘方是概念学习，在教学设计和实施中如何突出概念引入的必要性和合理性，是值得探讨的.下面回放三位教师的有理数乘方引入的片段，并分析讨论.

1.有理数乘方引入回放

（1）引入1

教师A在大屏幕上依次呈现问题1（已知正方形的边长为a，则它的面积为＿＿）和问题2（已知正方体的棱长为a，则它的体积为＿＿）.待学生回答后，教师出示结果（小学已学过）：边长为a的正方形的面积为a·a，简记作a2，读作a的平方（或二次方）；棱长为a的正方体的体积为a·a·a，简记作a3，读作a的立方（或三次方）.

然后教师A提出问题3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，变成几层？如果对折两次、三次呢？每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么？层数和对折的次数之间有什么关系？

学生折叠并思考，教师巡视并指导.归纳出每一次对折后的层数都是上一次对折层数的2倍，概括了层数和对折次数的关系及表示方法，填入下表中（表1）.

表1

续表

接下来，教师A给出乘方的相关概念（大屏幕显示）：一般地，把n个相同的因数a相乘的运算叫作乘方运算，把a·a…a（n个a）简记作an，读作a的n次方.

乘方的结果叫作幂.在an中，a叫作底数，n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂（图1）.

图1

（2）引入2

教师B在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过30 m i n便由1个分裂成2个，经过5 h，这种细胞由一个可以分裂成多少个？

引导学生思考：分裂的次数与2的个数之间的关系，并完成下表（表2）：

表2

由此给出乘方、底数、指数、幂的概念（略）.（3）引入3

教师C在大屏幕上出示国际象棋棋盘（图2）.

图2

教师C：谁知道有关国际象棋发明人的有趣故事？

学生讲述，但不太完整（略）.

教师C：看来这个故事大家都略知一二.细节上我再完善一下，这是印度的一个古老的传说.国王打算奖赏国际象棋的发明人---宰相西萨·班·达依尔.国王答应满足宰相的一个要求.宰相就说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，然后是8粒、16粒、32粒……一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑.宰相说：“就怕你的国库里没有这么多的米！”你认为国王的国库里有这么多的米吗？这个问题，你能回答吗？

学生：第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4=2×2=22粒，然后是8=2×2×2=23粒、16=24粒、32=25粒……一直到第64格放263粒.

教师C：谁还知道类似的有趣故事吗？

学生讲述（略）.

教师C点出课题并板书：有理数的乘方.

教师C：263到底有多大？

教师C用计算器计算并在大屏幕上显示，计算结果显示19位，学生一片惊呼.

教师C：100万粒米，重约25千克，263粒米重多少？

教师C再用计算器计算并在大屏幕上显示，学生又是一片惊呼.

教师C：请课下探究：一张纸厚约0.1mm，对折多少次比珠穆朗玛峰高？

教师C：昨天大家预习了有理数的乘方的概念，让我们探讨263的意义.

学生：263中，2称为“底数”，63称为“指数”，263称为“幂”，读作：2的63次幂或2的63次方.

教师C：an？

学生：（指着屏幕）a称为“底数”，n称为“指数”，an称为“幂”，读作：a的n次幂或a的n次方.

教师C在大屏幕上展现结果（图1）.

教师C：关于乘方你们有什么问题？

学生表示无问题.

教师C：（诙谐地）我有几个问题没搞懂，请大家帮帮我.

教师C提出一系列问题：指数没有负数吗？底数什么数都可以吗？底数能为零吗？幂指什么？学生一一回答.

2.有理数乘方引入的分析与建议

（1）引入1和引入2的分析与建议

引入1由学生的已有经验（问题1和问题2）出发，通过问题3导出了乘方的相关概念.引入2由生物学的细胞分裂实例，直接给出了乘方的相关概念.两则引入的共同点是导入简洁、快速.但两则引入，可从以下五点改进：

①突出为什么要引入乘方运算

数的算式和算法的发展都与原算式或原算法不满足实际的需要和其内部的矛盾运动有关.当相同的因数相乘的运算有大量需求，且因数的个数很多时，造成相同的因数相乘的算式和算法冗繁，此时创造一种新的运算势在必行.乘方运算的创造，充分表明了数的运算发展从量变到质变的辩证过程.教学中可通过适当的活动，渗透这一辩证观点.同时通过对概念引入必要性的体验，诱发学生的内部学习动机.

事实上，明白要学什么、为什么要学、怎样学，可以唤起其潜在的内部学习动机.而内部学习动机能使学生持久地保持注意力，并自觉地控制和调节自己的学习活动.

②创设更吸引学生眼球的情境

引入1的报纸对折，可换成学生熟视无睹的书本的开本.将长1092 mm，宽787 mm的一张整开纸对折，裁开后称为对开，也叫2开，接着又把2开纸对折裁开，再对折裁开……，即4开、8开……

引入2的细胞分裂可增加微视频，从活细胞繁殖其种类的过程，让学生有兴趣地投入到有理数乘方的数学活动中.

③经历归纳概括的过程

由2n直接就给出an，不仅使学生缺失了一次归纳概括的机会，而且也易使学生误以为底数a为正数.虽然后面的课堂练习有底数a为负数的，但先入为主的首因效应，使得部分学生对乘方运算的理解不完整.

④探究乘方运算记法的合理性

数学符号语言简洁、抽象的美，如果没有教师的点拨，学生是很难自主发现的.通过探究乘方运算记法的合理性，比如为什么不记作aN等，使学生对这种记法有较深刻的认识，避免一些无谓的错误.此时教师还可介绍历史上数学家们关于改进幂的记法的不懈努力，感受数学家锲而不舍的精神和智慧，以及数学符号语言的美.

另外，还可引导学生了解当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件或计算器中，通常写成aˆn或a**n，亦可写成a↑n.

⑤融入有理数乘方的相关历史

除了“底数”以外，“乘方”“指数”，特别是“幂”，应该让学生了解其来龙去脉.

在古代中国，“幂”和“冖”是同一个字，“冖”作名词表示覆盖东西的巾.用一块方形的巾盖东西，四角垂下来，就成“冖”的形状.刘徽将这意义加以引申，在公元263年注解《九章算术》中，将正方形面积和矩形面积称为幂，这也是数学文献中第一次出现幂.［1］这样“幂”字就和乘方挂上钩了.

法国数学家韦达（Erançois Viète，1540-1603）发明了符号代数，他将底数统一为A，二次幂称为平方（Square），三次幂称为立方（Cube），四次幂为“平方-平方”，五次幂为“平方-立方”，六次幂为“立方-立方”……并分别记为Aq，Acu，Aqq，Aqcu，Acucu……1637年，法国数学家笛卡儿（R.Descates，1596-1650）创造了新记号an，但他并没有给出“a的n次幂”这样的名称，还是利用平方和立方命名更高次的幂.1765年，瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707-1783）在《代数学基础》中给出了幂（Power）的定义：一个数自乘一次或若干次所得乘积称为“幂”.［2］

1935年，我国出版《数学名词》，把“Power”译成“幂”，这个术语沿用至今.

（2）引入3的分析与建议

引入3中的学生来自北京市城区一所生源优良中学的实验班，对于学生而言，有理数乘方的学习是很简单的，因此他们对有理数乘方的学习有一种轻视的倾向.针对这种现状，教师C如下三点做法值得肯定：

①让学生参与情境的创设.比如，故事由学生先讲，并让学生讲类似的有趣故事.再如，64格米粒的结果也是由学生独立完成的.

②创设的情境既与课题密切相关，又激发了学生的兴趣.教师一次计算263的大小，一次计算263粒米重多少，都引得学生的惊呼.学生想到了数很大，但没想到数会这么大！强烈的反差，诱发了学生进一步探究“有理数乘方”的动机.

③布置课前预习（有理数乘方）作业，课上通过提问一个成绩中下等水平的学生，了解学生的自学情况.当学生自觉没有问题时，教师以问题串的形式再次引发学生思考.

四点建议：

①通过活动或讨论，让学生了解有理数乘方概念引入的必要性和合理性，感受乘方符号表示的优越性.

②可选择具有时代气息的情境.国际象棋发明人等相关的有趣故事是不错的情境，但如果换成2011年元旦广为传播的短信（……今年是个财年：今年的十月份有五个星期六，五个星期天，五个星期一！这样的年份每823年才有一次.这些特殊的年份叫作钱袋年！按中国的风水学说如果你把这个消息送给8个好朋友，4天内钱就会来到.很神秘，也许值得一试哦！）导入，也许效果会更好.

③让听、说、读、写和想参与到学习中.“听”与“读”是信息的输入，“说”与“写”是信息的输出.“想”是思维，是信息输入和输出的中枢，忽视“想”的思维过程，学习会事倍功半.心理学研究表明，多种通道参与学习，效益会大大提升.

④注重学习方法的指导.学习了新的概念，学生自觉没有问题，教师却提出了一系列问题.暴露教师提这些问题的意图，渗透研究概念的方法，比能找到问题的答案更有意义.

［1］梁宗巨.数学历史变故［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1992：7，368.

［2］汪晓勤.同底数幂运算律的历史［J］.江苏苏州：中学数学月刊，2015（1）：47-48.