李成丽 杨静静 李海萍 张 妮

基于数学建模的创意平板折叠桌的加工设计研究

李成丽 杨静静 李海萍 张 妮

（兴义民族师范学院， 贵州 兴义 562400）

基于数学建模思想，利用Lingo软件处理数据，充分整合了数学、计算机及美学等多学科知识，具有较强的创新性。根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，能使桌子满足造型及灵活度上的要求，减少了误差，最后给出了创意平板折叠桌的动态展示图。

数学建模；折叠桌；加工设计；LINGO

一、问题的提出

桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（见图1、图2）。

图1

图2

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

图2

1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立数学模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。

2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

二、模型假设

1.假设从最外侧到中间的桌脚长差距大小为等差数列且用于连接桌脚的钢筋固定于最外侧桌脚木条的中心位置。

2.假设最外侧四条桌脚与地面接点间连线呈矩形。

3.木板各部分成分均匀，是理想材料，几何参数一致，不存在加工上的困难；

4.桌腿相互间接触，不存在间隙

三、符号说明

符号符号的意义hi 第i根木条上的钢筋到对应木条顶点的垂直距离mi 第i根木条对应的桌脚到桌面圆心的距离b桌面的木条及桌腿的宽度n桌面的木条根数Y0 最内侧木条所在的Y轴坐标θ1 第一根桌腿转过的角度，也等于与地面所成的夹角θi 第i根桌腿转过的角度Li 第i根桌腿的长度D桌面圆的直径

桌面厚度（即板厚度）ιi` 桌面第i根木条的长度Hi 第i根桌腿上开槽的长度αi 第i根桌腿上开槽的顶点到桌腿顶端的距离x钢筋在第一根桌ι腿上，距离桌腿底端的距离Z0 表示最内侧木条所在的Z轴坐标d

四、模型的建立与求解

问题一：该问题已经给出木板的尺寸，只需通过木板的尺寸及要求通过建立模型得出此桌子折叠的动态过程，同时可以得出设计加工参数以及边缘脚的曲线函数。

最外侧桌脚长度为L1，其与地面夹角为60°，木条宽为2.5cm，根据勾股定理求得L1=57.74cm，k=4.52cm.（如图4）

图4

最短木条L10=35cm，因连接桌脚木条的钢筋固定在最外侧木条中心位置且木条长度差呈等差数列，故有，从第十根桌脚到最外侧桌脚（以下凡是涉及桌脚位置的均以最外侧的桌脚为第一根）的等公差d=L1-L10/=2.52。

由以上数据可分别得出木条长度：L1=57.74，L2=55.22，L3=52.70,L4=50.18，L5=47.66,L6=45.4，L7=41.62，L8=40.10,L9=37.58，L10=35.06(误差均以四舍五入取值)。

图5

图6

设当折叠成桌子的时候最短木条上移H10,（即开槽最大距离）。如图5所示，从最短木条顶点C连接桌面中心O，从最长木条顶点A作OC的垂线,垂点为B，qD为钢筋所处位置，连接qC，qB，qA,qA=L1/2，qD=AB=m10=r=25cm,Bc=n10=r-k/2=22.74cm,h10=L10-L1/2=6.13cm（如图 6），由勾股定理解得H10=11.66cm第九根木条长为37.58cm,设其中心上移为H9，h9=8.71cm，(如图7)从第九根作OC的平行线交AB于点 G，连接 Fq，Eq=AG=m9=r-k=22.50cm，FG=nq=n10-d=20.22cm， (L1/2)2+=+ （h9+H9）2+，化简得 28.872=20.222+ （8.71+H9）2，通过LINGO软件解得 H9=11.9cm，H8=11.58,H7=10.81cm,H6=9.48cm,H5=8.09cm,H4=6.42cm,H3=4.

图7

图8

51cm,H2=2.37cm。如图8所示，以两侧木条桌腿连线为X轴，垂直于其中线水平方向为Y轴，垂直于水平方向为Y轴，建立直角坐标系。设Z点坐标为（0，Y0，Z0），由上面可知 WS=CK,,DZ=17.21cm,DB=28.87cm，DC=17.79cm，CB=22.74cm。 如 图 所 示 ，CDB 与ZDB相似。因此求出ZW=22.00cm。又由于CDKZDS相似，可得因为CK=WS=ZW-ZS,代入求得ZS=10.80cm，所以 Y0=10.80cm。则 CK=WS=11.20cm。根据题意，DQ=25cm.由于余弦定理得。=（DS2+ZS2-DZ2）(2*DS*ZS)，根据LINGO软件求得DS=6.61cm，ZO=SQ=DQ-DS=18.39cm。根据勾股定理，代入求得QZ=21.60cm。

将空间问题转化为平面，如图9所示以q1q2所在的直线为X轴，以QZ所在的直线为Y轴建立直角坐标系。已知曲线上三点：q1（25,0），q2（-25,0），QZ（0，21.60）。设方程为 y2=a（x-25）（x+25）将 QZ点坐标代入解得 a=-0.75。所以方程为 y2=-0.75（x-25）（x+25）化简得3x2+4 y2-1875=0。

图9

问题二：构建立体直角坐标系，以图中（0,0,0）点（桌面边缘，中轴线正下方，地面上）为坐标原点，在人面对桌子坐着的时候，右侧x轴正方向，右侧为Y轴正方向，正上方为X轴正方向；再假设人坐在椅子上时，腹部到桌面距离为C，那么人的腹部中心（0，-c,b）点；由于人有两条腿，假设大腿外侧距离大腿内侧为d，那么人的右大腿外侧位于（d,-c,b），左大腿的大腿外侧位于（-d,-c,b）.假设人的脚一直紧贴地面，那么可以设右脚的坐标是（x,y,0）,左脚的坐标是(-x,y,0)，右膝盖的坐标是（x1，y1,z1）,左膝盖的坐标是（-x1,y1,z1）,且

可以根据大腿长度、小腿长度、人坐在椅子上时腹部到桌面的距离等参数算出（x1，y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外侧极限，从而得到桌子支起来后，木条必须离开的区域。

如果技术满足不了，则放宽要求，只求人的腿紧闭或伸得不太开时腿不能接触木条的条件下（x1,y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外侧极限。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形。应用材料最少的要求，方形平板，得出直径为80cm，半径为40cm。可设想每根木棒宽度为4cm，共80/4=20根。设木板总长度为X，最边缘木棒长度为：

X/2-=X/2-≈X/2-12.5，先不考虑桌面厚度的情况下，要求桌面高度为 70cm，即：X/2-12.5≥70，且X≥165，同时需要有一定的倾角以固定稳定性，在考虑桌面厚度的情况下，桌脚长度可取170cm，得出建议使用桌面规格长170cm，宽80cm。

又设每根木条宽度为，木条根数为S=（）最短边长度为l10=a-b/2=45.又桌脚间距离成等差数列固有公差d=3.98cm，由此可得以下数据：

l1=80.83，l2=76.85，l3=72.87，l4=68.89，l5=64.91，l6=60.93，l7=56.95，l8=52.9，l9=48.99，l10=45.01（单位：

第九根木条的长度为48.99cm，设折叠成桌子时，木 条 上 移 H9，AG=r-x=(40-x)，FG=BC-d=32.02，h9=l9-l1/2=40.415，qa=40.42cm， 由 勾 股 定 理 得Aq2=FG2+(h9+H9)2求得H9=16.09cm，以此类推，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm，所以对于桌面直径为80cm的情况下，长方形平板的尺寸为170。钢筋位于最外侧木条的中心位置。从最外侧到最中间的木条开槽长度分别为H10=13.79cm，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm。

问题三：我们设定桌子的高度为65cm，桌面边缘线为半长轴为30cm，半短轴为20cm，即厘米cm）钢筋位置位于最外侧木条中心位置，如图10所示，从最短木条顶点A作OC的垂线垂直于B，连接AB，qD为钢筋所处的位置，连接qC，qB，qA，设折叠成桌子时最短木条上移H10（即为开槽最长距离）

由勾股定理得

解得 H10=13.79cm

①对赋值，令x=0，则|y|=30cm，D=60cm。即平板的宽度为60cm。

③求出所有的木条长度 和 ，其中 要用到θ1这个变量来表示。这里i=1,2，…..12。

第一根桌腿的长度：

④通过对四个方程的整合，得到下式：

⑤通过对两个方程的整合，得到下式：

及下式：

利用MATLAB软件计算槽长度之和取最小值，得到θ1为90°，x为28.3cm是最优的加工参数。计算出所有的桌腿的长度 、开槽长度 、槽的顶部到桌腿的顶部的距离 ，如下表所示：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 62.5 58.5 56 54.1 52.6 51.4 50.4 49.7 49.1 48.7 48.35 48.2 0 4.1 6.9 9.1 11.0 12.5 13.8 14.7 15.5 16.0 16.4 16.6 34.2 30.2 27.7 25.8 24.3 23.1 22.1 21.4 20.8 20.4 20.1 19.9

最后，我们得到创意平板折叠桌的动态展示图，如图11所示。

图11

五、小结

本项目基于数学建模思想，利用Lingo软件处理数据，通过Photoshop软件画出研究过程中所产生的图片，充分整合了数学、计算机及美学的多学科知识，具有较强的创新性。根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，能使桌子满足造型及灵活度上的要求，减少了误差，最后给出了创意平板折叠桌的动态展示图。

比起普通折叠桌，本项目研究的折叠桌方便收放携带且造型独特美观，可作为外出野餐野营等的最佳伴侣，造型美观且可收放因此可用作摆设，又可作为餐桌、咖啡桌，不占空间使用价值却极高，无论是房屋里面、茶餐厅还是狭窄的空间又或是野外草地上均可使用，所谓物超所值，既能给人以美的享受，又能在使用方面带来极大的便捷。

不足的是，模型考虑到桌面边缘线的曲线已经桌角边缘线的函数曲线，不易获取。应用函数拟合只能大体上估计，存在一定的偏差，得出的桌脚边缘线函数不够精确。

本模型的改进方向是，应该进一步考虑外界对其的影响，木板的尺寸应易于存放，采用适用最广泛最实惠的木材进行加工，考虑折叠桌的用途估算出其受载，再建立数学模型设计出模型结构。

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].高等教育出版社，2007.

[2]袁新生,邵大宏，郁时炼.LINGO和Excel在数学建模中的应用[M].科学出版社，2013.

[3]王红卫.PS抠图秘技[M].机械工业出版社，2011.

[4]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.

[5]同济大学航空航天与力学学院.材料力学[M].上海：同济大学出版社，2010.

Study On Processing Design Flat Folding Table Based On Mathematical Modeling

LICheng-li YANG Jing-jing LIHai-ping ZHANG Ni
（Xingyi Normal University for Nationalities,Xingyi,Guizhou 562400,China）

Based on the ideaof mathematical modeling,using Lingosoftware toprocessdata,the full integration of multidiscipline knowledgeof mathematics,computer and aesthetics,with astronginnovation.According to thegeneral shapeof folding tableheight,arbitrarilysetthedesktop clientedge lineshapesizeand the footofthetableedge,theshapeand thesizeoftheplatematerialand practicaloptimaldesignofmachiningparameters,the folding table isproduced ascloseaspossible to thecustomersof thedesired shape,canmeetrequirementsoftableshapeand flexibilitydegree,reducetheerror,thecreativeflatfoldingtabledynamicdisplaychartaregiven.

mathematical modeling of LINGO process design of folding table

1009—0673（2015）02—0110—07

O29

A

2015—01—01

兴义民族师范学院2014年大学生项目（项目编号：14XYXS13，本项目获2014年全国大学生数学建模竞赛贵州赛区二等奖。）

李成丽（1995— ），女，贵州织金人，兴义民族师范学院信息技术学院信息与计算科学专业2012级学生；指导教师：张妮（1982— ），女（壮族），广西南宁人，兴义民族师范学院信息技术学院副教授，教育学硕士，主要从事信息与计算科学的教学和研究。

责任编辑：李珏