张 震,潘再平,潘晓弘

（浙江大学工学部,浙江杭州310027）

骨干粒子群算法两种不同实现的优化特性

张 震,潘再平,潘晓弘

（浙江大学工学部,浙江杭州310027）

总结了骨干粒子群算法（BBPSO）的一般形式,指出决定BBPSO算法本质的4个要素.BBPSO在实施中,粒子不同维度采用的随机变量值相同或不同,这将导致算法的特性及适合的优化对象不同.记相同的为I型实现,不同的为II型实现,通过实验指出2种实现的差别：I型实现有各向同性的优点,但是粒子多样性差；II型粒子多样性更优,但各向异性,使用高斯、柯西、指数和均匀分布形式的II型BBPSO都倾向于沿坐标轴寻解.从理论上分析了这些差别的成因,指出I型实现总体性能较差,只适合优化梯度变化明显的单峰函数；II型实现总体性能较好,擅长求解峰的方向平行于坐标轴的单峰或多峰函数.

骨干粒子群算法（BBPSO）；量子粒子群算法（QPSO）；粒子多样性；各向异性算法

骨干粒子群（bare-bone PSO,BBPSO）是一种精简的粒子群算法,取消了粒子的速度属性,以随机分布的形式完成进化.第一种BBPSO由Kennedy［1］提出,用高斯分布控制粒子进化,本文记为GBBPSO.随后,Sun等［2］在量子空间内考虑粒子行为,得出一个带指数分布的BBPSO进化方程.这一改进算法即量子粒子群算法（QPSO）,Sun等［3］对控制参数、粒子行为和算法性能作了详细研究.近年来对QPSO的算法改进、分析与应用是最高产的骨干粒子群研究领域［4］.GBBPSO和QPSO是影响最大的2类基本骨干粒子群形式,本文重点分析这2类BBPSO.

在PSO中,粒子以邻域内粒子的最优解为引导决定移动位置,邻域选择形式称为拓扑结构.骨干粒子群中保留了这些概念,Zhang等［5-6］考察了不同拓扑结构对BBPSO的影响,结果表明拓扑结构的优化能进一步改进算法性能.基于此,本文将拓扑形式的不同作为分析中的一个变量.

英国学者Blackwell对BBPSO研究作出了比较突出的贡献,与Richer［7］共同提出了Levy BBPSO（LBBPSO）,使用更长尾的Levy分布替代高斯分布,从而算法有可能在群体集中时产生较大的标准差让粒子分散,这一改进在测试函数中获得了较好的改进效果.针对BBPSO的坍塌问题,Blackwell等［8］提出基于高斯或柯西分布的跳跃机制.从理论上研究了GBBPSO坍塌的机理［9］,指出BBPSO还有更多的改善空间.

国内外学者从多方面对BBPSO进行了改进,近几年的主要改进如下：Hsieh等［10］在GBBPSO的基础上,对平均值和标准差各自增加了一个调节系数；Li等［11］在QPSO的基础上引入合作机制,利用若干临时个体的协作完成粒子的进化；Zhang等［12］在GBBPSO的标准差中引入一个带参数的变异项并分析了其对算法收敛性的影响,随后在算法中引入定向混合搜索方法［13］.由于算法简洁、调节参数少（甚至没有）、优化性能良好,BBPSO近两年来成功应用于经济调度［13］、故障诊断［14］、工程优化［6,15］等领域.

尽管国内外学者对BBPSO的改进和应用进行了大量研究,但在算法特性方面,除了Blackwell［9］分析了求解坍塌机理、Zhang等［12］分析了引入的变异项对算法收敛性的影响之外,较少出现相关工作.本文首次系统地对BBPSO的寻解特性进行分析.

BBPSO在实现中,针对粒子不同维度采用的随机变量值是否相同有两种实现,记相同的为I型实现,不同的为II型实现.为了分析2种实现的不同特性,本文开展以下工作.首先提出BBPSO的一般形式,指出算法的4个核心因素.结合实验指出BBPSO 2种不同实现的特性：I型实现将导致粒子多样性较差,而使用所有主流分布（高斯、柯西、指数和均匀分布）的II型实现都将导致粒子倾向于沿着坐标轴方向寻解.本文首次提出并从理论上论证了这BBPSO的这2个特性.基于这些结论,指出2种实现各自的优缺点及适合求解的问题.

1 BBPSO算法模型

1.1 基本GBBPSO及其改进简述

在经典粒子群算法中,粒子i将收敛于历史最优点Pi和邻域最优点Gi中间的某一点.受此启发,Kennedy提出的最初GBBPSO形式如下：

式中：xid表示点Xi第d维的位置；pid和gid分别为Pi和Gi第d维的值,以Pi和Gi的平均值为中心、差绝对值为标准差的高斯分布变量为基础完成位置进化.

除取消了速度项之外,GBBPSO与经典粒子群的最大的区别是,下一移动位置不取决于当前粒子位置,而是当前的粒子历史最优位置.这一改变使得PSO的差分方程模型不能用于此处,从而增加了算法特性分析的困难.针对GBBPSO基本模型的改进主要有以下两方面.

1）邻域拓扑的改进.Zhang等［5］分析了全邻域和局部邻域下BBPSO的不同性能和特征.Chang等［16］研究通过增加邻域内的粒子最优位置信息来改进高斯分布平均值,得到更好的总体性能.

2）高斯分布标准差的控制.在式（1）中,算法是不带控制参数的.Rifaie等［8,10］增加了一个系数α来控制标准差.引进系数的优点是显然的,对不同函数、不同进化阶段都可以用来调节粒子移动幅度,从而改进算法性能.

式中：K为邻域内粒子数量,α为标准差调节系数.结合这两点改进之后的BBPSO如式（2）所示.

1.2 邻域模型的表示

本文用集合的方式来表示不同的BBPSO邻域模型.对于一个由N个粒子组成的群体,以Pi表示第i个粒子的历史最优位置,则所有粒子最优位置的全邻域模型可以表示为集合S：

于是粒子i的邻域Li为S的一个子集,对于局部环状拓扑,Li＝｛Pi－1,Pi,Pi＋1｝；对于全邻域拓扑Li＝S.粒子邻域最优位置Gi即Li的最优元素.

1.3 BBPSO算法一般模型的建立

引入邻域模型后,GBBPSO进化方程（式（2））可以表示为

记ξ为标准正态分布变量,即ξ＝N（0,1）,可将进化方程进一步转换为

式（5）为BBPSO的一般模型.应该说明的是,式（5）虽然是从高斯骨干粒子群推导而来,但适用于所有的主流骨干粒子群形式.可以看出,骨干粒子群的一般模型中只有一个控制参数α,位置进化由4个因素决定：一是邻域Li,二是进化中心位置μ（Li）,三是离散控制项σ（Li）,四是随机分布变量ξ.对其中每一项的不同选择都将产生不同的变异形式,原始GBBPSO［1］、LBBPSO［7］、QPSO_Type 1［2］这3种算法,与一般模型的各项对应关系如表1所示.

表1 3种BBPSO一般模型中的参数值Tab.1 Parameter mapping of three BBPSO to general model

LBBPSO把项Pi-Gi作为范围调节参数内置于Levy分布中；QPSO中参数φ1和φ2为服从［0,1］均匀分布的随机变量,邻域中除了所有粒子的历史最优位置,还增加了粒子当前位置.值得说明的是,研究者们提出的大量不同BBPSO的变异形式,主要都是对模型中的一项或几项的改进.

1.4 BBPSO算法的两种实现形式

观察一般进化方程（5）可知,Xi、μ（Li）和σ（Li）都为向量,每个维度下的值互相独立.在算法实施中,ξ有2种处理方式：1）将ξ视为标量,即每个维度进化时选用相同的值；2）将ξ视为向量,即每个维度进化时用独立的值.这2种实现的伪代码如下.

其中,变量D为粒子维度.

2 I型实现特性分析

在I型实现中,ξ为标量.由式（5）可知,粒子位置由向量μ（Li）和σ（Li）线性叠加得到,这一过程不依赖于具体的坐标系,因此算法具有平移不变和各项同性的特点.

在粒子群“驻态”情况下进行分析.驻态（stagnation）是指粒子的历史最优位置Pi和邻域最优位置Gi都保持不变的进化状态.

粒子多样性是衡量粒子群算法的一个重要指标.若粒子多样性较好,则算法有更大的可能寻找到全局最优解,因而对多峰函数的优化性能更好.从运动自由度角度来考虑,各个维度使用相同的ξ导致粒子自由度降低,这必然导致粒子多样性较差.分析GBBPSO和QPSO这2类形式在这种低粒子自由度下的表现.从粒子多样性分析出发,首先通过对实验说明GBBPSO和QPSO的I型实现将导致粒子沿着（或经过若干次迭代之后沿着）一条直线运动,然后从理论上说明这一现象的必然性.

2.1 粒子多样性实验

图1 II型实现在二维下粒子的运动轨迹Fig.1 Particle trajectory of BBPSO-I in two-dimensional space

实验1 选取算法形式为GBBPSO和QPSO的I型实现（算法详情见表1）,系数α设为1,维度为2,固定Pi坐标为（30,60）,Gi为（60,－30）.粒子迭代100次,记录运动轨迹.

实验结果如图1所示.可见,GBBPSO粒子运动完全沿着直线PG运动；QPSO粒子在经过10次左右迭代之后,轨迹完全进入直线PG.

2.2 理论分析

BBPSO一般模型中的离散控制项σ（Li）有2种情况：一种是只由邻域内的粒子历史最优位置Pi决定,如GBBPSO；另一种还将受粒子当前（或更早）位置Xi决定,如QPSO.图2的2种粒子运动轨迹显示了这两种情况的区别,下面分析这两种情况下的粒子特性.

定理1 对于I型实现,若BBPSO的离散控制项只由Li决定,则在邻域状态为的驻态中,粒子将只沿着经过点μ）、方向为σ（）的直线运动.

这一结果是显然的,将随机变量ξ视为自变量,由式（5）可得粒子的运动轨迹为

对于QPSO,进化中心μ（Li）实际上是由一个均匀分布变量产生的直线分布.此外,在离散控制项中加入了当前位置,对该类变异形式有以下结论.

定理2 对于I型实现,如果BBPSO符合2个条件：1）σ（Li）与μ（Li）具有相同的位置分布；2）离散控制项形式为σ（Li）－Xi,即粒子的当前位置会影响下一时刻的位置.在驻态中,粒子随着迭代的进行将以概率1落入由σ（Li）概率分布所在的直线中.

证明：包含Xi项之后,离散控制项在驻态中并非为固定值,进化方程转变为

对t取极限,再对式（7）两边求期望值,可得

由于ξ和Xi、ξ和μ（Li）之间都相互独立,结合条件1）,从式（7）可得

即粒子位置的期望在μ（Li）的分布中心.若μ（Li）的分布为直线PG,则随着迭代进行粒子落在PG上的概率为1.一旦落入PG上的任意一点,从式（7）可知,粒子将再不能逃离出直线PG.定理2得证.

QPSO中μ（Li）的分布即为连接Pi和Gi的直线PG,由定理2可知,实验1中QPSO粒子在迭代若干次之后进入直线PG是必然的.孙俊在改进算法QPSO_Type 2中创造性地在σ（Li）项中引入“平均最优位置”,本质是使算法的σ（Li）与μ（Li）不相等,算法不再满足条件1,粒子多样性得到增强,从而获得更好的总体性能.

3 II型实现特性分析

在II型实现中,ξ为矢量,每一个维度互相独立,对σ（Li）各个维度的值根据其离坐标原点的远近进行不同程度的放大（或缩小）,因此算法求解过程受坐标系选取的影响.

首先通过对GBBPSO和QPSO 2种骨干粒子群的II型实现进行实验分析,指出II型实现粒子多样性优于I型,但是有倾向于沿着坐标轴寻解的现象,随后从理论上分析了该现象的产生.

3.1 粒子多样性实验

实验2 选取算法形式为GBBPSO的II型实现,设置维度为2,固定Pi坐标为（30,60）,Gi为（60,－30）.粒子迭代100次,记录运动轨迹.

实验结果如图2所示,可见粒子不再像I型实现一样陷入一条直线,而是扩展到了全空间.这意味该粒子的空间多样性优于I型实现,从而对多峰函数的优化性能更好,这是算法提出者使用II型实现的原因.

图2 II型GBBPSO实现在二维下粒子的运动轨迹Fig.2 Particle trajectory of GBBPSO-II in two-dimensional space

3.2 坐标轴偏向实验

前文已指出算法求解过程受坐标系选取的影响,笔者通过BBPSO的II型实现对函数优化时的粒子特性来进一步观察这一点.

实验3 选取算法形式为GBBPSO和QPSO的II型实现,优化目标函数为坐标距离原点偏离（100,200）的二维Sphere函数,即

设置系数α为1,粒子数量为10 000,初始化位置为［－100,100］范围均匀分布.迭代10次后,记录所有粒子的位置,粒子散点图如图3所示.

图3 II型实现迭代10次后粒子分布Fig.3 Particles distribution of BBPSO II after 10 iterations

从图3可以看出,不论是GBBPSO还是QPSO的粒子在迭代10次后,都以点（100,200）为中心,沿着坐标轴方向呈十字形分布.

为了进一步分析该现象,引入粒子“速度”的概念,即

重新以GBBPSO运行一次实验3,每次迭代中保存粒子群的当前位置以及上一次位置,用以计算粒子“速度”.在第10次迭代时记录所有粒子的速度,统计速度与x轴夹角θ的分布,结果如图4所示.图中,N为分布在θ角度的粒子数.可以看出,大部分粒子都沿着与x轴夹角为－90°、0°和90°的方向运动,即坐标轴方向.这一结果进一步确认了粒子的坐标轴偏向现象.

图4 GBBPSO II型实现粒子移动速度的角度分布Fig.4 Velocity angle distribution of GBBPSO II

该现象不是实验3中的设置导致的,使用其他目标函数、在更高维度下,也有坐标轴偏向的问题.

3.3 理论分析

Spears等［17］分析了标准粒子群中的坐标轴偏向问题,实验3说明BBPSO的II型实现有坐标轴偏向问题.以下将说明II型实现中使用的随机分布与这一现象之间的内在关系.

为了方便叙述,分析中略去粒子下标i.设在t时刻粒子位置为X,迭代一次之后位置为X′,则由式（5）有

二维下,速度V＝X′－X表示为

记ai＝μi（L′）－μi（L）,bi＝α·σi（L′）,ci＝－α·σi（L）,则速度V及其夹角θ简化为

无论ξ取何种分布,取值多少,θ都有一个伴随角度,记为θ*：

通过实验4来分析θ随θ*的变化情况.

实验4 a1、a2、b1、b2、c1和c2这6个参数以高斯分布N（0,1 000）随机取值,按照式（15）、（16）计算θ和θ*.分别取ξ为标准高斯、柯西、指数和［0,1］均匀分布,在每种分布下重复计算θ和θ*共1.8×107次；然后将θ*按照角度离散为180个区间,计算每个区间中θ的平均值和方差,结果如图5所示.

由图5可知,柯西分布与高斯分布的结果类似,指数分布和均匀分布的结果类似.观察高斯分布的结果可知,θ的平均值都为0,但各个角度的θ的标准差呈现出一种规则的变化.当θ*为0°时,标准差为0,此时为一个稳定的状态；当θ*远离0°时,标准差不断扩大,有一种将角度推向坐标轴方向的趋势.当θ*为90°时,标准差为90,由于θ最大值为180°,可知此时θ只有0°和180°两种状态,即粒子速度都沿坐标轴方向.

指数分布和高斯分布的实验结果稍有区别.当θ为－90°、0°、90°时,标准差都为0,稳定地沿着坐标轴方向.当角度偏离时,标准差增大,有将角度推向坐标轴方向的趋势.

图5 实现II中ξ取不同分布时θ的平均值和方差分布Fig.5 Expectation and deviation ofθin BBPSO II under different distribution ofξ

实现II的坐标轴偏向现象本质上是由采用的随机分布导致的,各个分布的表现略有不同,但都导致同样的偏向现象.

对于实现I,各个方向的ξ相同,即

图6 实现I中取高斯分布时θ的平均值和方差分布Fig.6 Expectation and deviation ofθin BBPSO I

用高斯分布形式的实现I重复试验4,可得相应的结果如图6所示.与实现II不同,此时θ随θ*均匀变化,方差恒为0.这进一步说明实现I是各项同性的.

上述说明了BBPSO实现II中若采用上述4种分布,都将导致粒子倾向于沿着坐标轴运动.GBBPSO采用的是高斯分布,QPSO采用的是指数分布,LBBPSO中的Levy分布实际上是高斯分布和柯西分布的混合,因此这3种算法都是各向异性的,且有坐标轴偏向现象.注意到论证过程中未使用驻态假设,此外与目标函数、算法参数设置都无关,因此坐标轴偏向是实现II导致的BBPSO的本质特点.

4 求解性能分析

由于2种实现具有不同的粒子运动特点,这必然导致不同的优化特性.本节分析2种实现的不同求解性能.

对于实现I,由于粒子易沿着直线寻解,在迭代早期将更快速地收敛.随着迭代的进行,对多峰函数的求解非常容易陷入局部最优,对梯度变化不明显的单峰函数则容易求解收敛于并非全局最优解的某一点.只有对梯度明显的单峰函数才能获得较好的优化性能.

对于实现II,粒子多样性增强,因而总体求解性能较好.由于各向异性的特点,对同一函数在某些旋转角度下优化性能较差.由坐标轴偏向现象可知,若“峰”的形状不平行于坐标轴,则将导致求解困难；当峰形状平行于坐标轴时,求解将非常高效.

采用2组实验来验证上述分析.优化对象为畸变的2维Sphere（F1）和Rastrigin（F2）函数、30维Rosenbrock（F3）和Rastrigin（F4）函数,最小值都为0,初始化和求解范围统一设置为［－100,100］.

实验5 分别选用GBBPSO的I型和II型实现,对函数F1和F2在各个旋转角度下进行优化.设置粒子数为40,迭代次数为500.在每个旋转角度下,计算重复10次,记录最优目标函数值的平均值,结果如图7所示.

图7中,ln f为目标函数值的自然底数对数,由于计算精度表达限制,当函数值为0时,纵坐标记为－300.可见,实现II在不同旋转角度下性能差别巨大,当旋转角度在0°、90°和180°附近时效果最好.实现I则保持稳定的求解性能,对单峰函数F1的任意旋转角度能都找到最优解,但是对多峰函数F2的表现远不如实现II.

实验6 分别以I型和II型GBBPSO求解F3和F4,粒子数为20,迭代200次,结果如图8、9所示.图中,ni为迭代次数.

I型实现在最初的迭代中性能远远优于II型,但是求解过程容易塌陷,过早收敛.II型实现则保持稳定良好的求解势头,在长期的迭代中性能远优于I型,这进一步验证了分析结果.

图7 2种不同实现在函数旋转时的性能区别Fig.7 Performance comparisons on rotated functions

图8 2种不同实现在Rosenbrock函数上的对比Fig.8 Performance comparisons on Rosenbrock function

图9 2种不同实现在Rastrigin函数上的对比Fig.9 Performance comparisons on Rastrigin function

5 结 语

本文首先提出了骨干粒子群算法的一般模型.该模型包含1个控制参数α以及4个核心因素：邻域选择、进化中心位置、离散控制方式以及随机分布的类型.采用该模型分析算法的2种不同实现,可得以下结论.

（1）I型实现是各项同性的,但是由于各个维度使用同一个随机变量,导致粒子自由度降低,粒子多样性差.对于GBBPSO和QPSO这2种基本形式来说,在驻态时,粒子将沿着（或趋向于沿着）一条直线运动；当群体进化到另一个驻态时,粒子只是切换一条直线寻解.

（2）II型实现粒子多样性较好,但是对于目前使用的4种主流随机分布（高斯、柯西、指数及均匀分布）,粒子都有趋向于沿着坐标轴寻解的趋势.

根据没有免费午餐理论［18］可知,不可能找到对所有优化函数都能取得最优结果的随机算法.每种算法都具有特定的优点和缺点,在应用中应该根据优化问题的特性来选择合适的算法.本文工作的目标是讨论BBPSO算法的特点,分析2种实现各自擅长的求解问题.在应用中,若求解目标是简单单峰函数,则可用实现I求解；若不是,则应该用实现II求解.若了解函数的特征,则可以考虑将坐标系旋转到合适的角度再进行求解.

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Different implementations of bare bones particle swarm optimization

ZHANG Zhen,PAN Zai-ping,PAN Xiao-hong
（Faculty of Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China）

A general bare bones particle swarm optimization（BBPSO）form was presented,which consists of four key elements.In the implementation of BBPSO,whether the different dimensions of a particle use the same random variable or not conduct to two different algorithms.Denote the former as BBPSO-I,and the latter as BBPSO-II.Experimental results indicate that BBPSO-I is a rotational invariant algorithm with poor swarm diversity,while BBPSO-II is rotational variant with better swarm diversity and general performance.The using of Gaussian,Cauchy,Exponential or Uniform distribution makes particles of BBPSO-II tend to move along the axes.These features were clarified by theoretical analysis.Some advice on the application of BBPSO was given.BBPSO-I is suitable for unimodal functions with obvious gradient descent,while BBPSO-II obtains generally better performance,especially on optimizing functions with peaks along axes.

bare bones particle swarm optimization（BBPSO）；quantum particle swarm optimization（QPSO）；swarm diversity；rotational variant algorithm

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.021

TP 301

A

1008- 973X（2015）07- 1350- 08

2014- 04- 24. 浙江大学学报(工学版)网址：www.journals.zju.edu.cn／eng

张震（1986－）,男,博士,从事算法分析、变压器设计的研究.ORCID：0000-0002-6437-7195.E-mail：colabh＠hotmail.com

潘再平,男,教授.E-mail：panzaiping＠zju.edu.cn