徐明会 李媛媛

摘要：本文通过研究烤箱中烤盘的传热原理，建立二维稳态热传导方程，利用MATLAB计算仿真得到不同形状的烤盤外边缘热量的分布情况。

关键词：热量分布；热传导

烤盘在烘烤蛋糕时经历了一个相当复杂的过程。我们大致可将其分为三个阶段：首先，烤箱的电热阻丝做功放热通过热交换加热烤箱内的空气；然后，待烤箱内空气温度达到一定后，烤箱内的温度保持不变，烤盘内的食物由于内外温度不同进行热传递；最后，食物上的每一处都达到烤箱内的恒定温度后，食物将吸收热量用于产生化学反应烘焙食物。

一.模型假设

1.烤箱各向均匀同质，受热均匀，且烤箱内部温度稳定。

2.烤盘可以为介于矩形和圆形之间的形状，厚度忽略不计。这一假设将烤盘看作薄片，对于热传导方程的推导由三维热传导方程降为二维热传导方程，如下推导所示。

二.模型的建立与求解

整个烤制过程中的热传导是从食物外表面向内部传递的，由于在同一水平截面上，即位于同一烤盘相同高度截面外边缘上的每一点温度相等，所以我们可以将下述的三维热传导方程降维，成为二维热传导方程，建立模型进行求解。

根据热传学原理[1]，对于给定的物体 ，设其上的点在时刻 的温度为 ，由傅里叶热传导定律[2]可得

式中 代表热传导系数，设为 。 代表热流量， 代表 范围内的每一闭合区域， 代表时刻。再由热量守恒定律得 ，式中 代表比热容， 代表质量。结合上述的两大物理定律，可以推得稳态二维齐次热传导方程：