叶昭蓉

摘 要：立体几何中的“动态问题”主要是研究空间点、线、面位置关系，当某些点、线、面位置变化时，寻找变化量与不变量的关系，将高中阶段所学函数、向量、解析几何等相关知识有机结合起来，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而提高学生的数学思维。

关键词：动态问题;函数法;解析法;等价转换法

立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题。由于某些点、线、面位置的不确定，对学生的空间想象能力、知识的综合能力、思维的转化能力提出了更高的要求。因此，在教学过程中非常有必要对知识进行活化，引导学生通过观察、分析、比较、联想、转化等思维过程，开拓学生的思维;动静结合，化动为静，找到相应的几何关系;  在原有的认知结构中，用熟悉的平面几何知识、代数方法等进行解答。下面浅谈几种解决立体几何中“动态问题”的方法。

一、函数法

由于某些点、线、面在动，必然导致某些位置关系或一些量的变化。当变量变化时会引发其他量的变化，从而建立函数关系，则可将立体几何问题转化为函数来解。

例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB、BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面 A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值为______.

【解析】因为点P1、P2分别是线段AB，BD1上的动点，所以线段 P1P2在平面ABD1内，又∵P1P2∥平面A1ADD1，∴P1P2∥平面AD1作P2O⊥BD于点O，连接OP1，则P2O⊥平面ABCD，OP1⊥AB，即OP1为三棱锥P2-P1AB1的高，设AP1=x，0

∴VP-PAB=S△ABP·OP1=··x·（1-x）≤（）2=

當且仅当x=1-x？圯x=时，四面体P1P2AB1的体积的最大值为。

二、解析法

利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化。由于空间向量集代数（坐标）运算和几何运算于一体，成为沟通空间“数”和“形”的最佳载体，因此，利用空间直角坐标系将空间图形中的若干构成元素坐标化后，借助于向量进行运算和分析， 是解决这类问题常用的方法。

例2.已知四面体ABCD中，DA=DB=DC=3，且DA，DB，DC两两互相垂直，点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的最大值是   .

【解析】以O为坐标原点，以OD及平行于BC的直线分别为y，z轴建立空间直角坐标，则B（-，3，0），C（-，-3，0），D（0，0，），

设A（2cosθ，2sinθ，0），则=（2cosθ，2sinθ，-），=（0，-6，0），

设直线DA与直线BC所成角为α，则cosα==≤

三、等价转换法

“动”与“静”是相对的，在运动变化过程中，要善于寻求或构造与之相关的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，以实现变量与不变量的有机结合。

例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2.若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为   .

【解析】由正四面体相对的棱间的距离相等，即P1P2，P3P4间距离与P2P3，P1P4间距离相等，所以求长方体的高问题转化为P2P3，P1P4间的距离问题，∵P1P2，P3P4间距离等于AD，∴长方体的高为2，∴长方体的体积为4.

四、定义法

当点、线、面的变化满足某些约束条件时，往往能够形成其变化的轨迹，若变化的轨迹符合某已知的定义，则可直接得出其轨迹。

例4.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A，B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（  ）

A.2 B.2 C.5 D.4

【解析】点A，B分别在x轴、y轴上移动可看作为x轴、y轴分别绕点A，B移动，

∵∠AOB=90°，∴当正方体固定时，坐标原点O的轨迹为以AB为直径的球面，设AB的中点为E，则C1O最大值为C1E+1=3+1=4.

以上解决立体几何中“动态问题”的几种方法，相互间互相渗透，教师在教学过程中应充分加强知识间相互联系，让动态元素动起来，在运动变化中探求与之相关的不变的元素及元素间相互关系。在解决具体问题时，要善于从多角度进行思考，培养学生数学思维，激发学生学习数学的兴趣，避免产生数学焦虑，从而很好地达到教学相长的境界。

？誗编辑 杨兆东