吴方跃

摘要：研究不等式的方法可谓众多，本文主要从利用定义、利用导数、这两个数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍用定义法如何解决不等式证明问题，接着将不等式当作一类特殊的函数去研究，从另一个角度出发，利用导数作为研究工具或手段，具体结合微分中值定理、最值，将不等式问题化难为易.

关键词：不等式;导数

不等式是高中数学中非常重要的课题之一，在高中数学中占有极其重要的地位。因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。

研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高中数学中几个比较重要的方法为理论基础，探讨如何解决不等式问题。

一、 利用定义法证明不等式

用定义法是常用的解决不等式问题的基本方法之一，它的原理是

若[A-B≥0]，则有[A≥B];若[A-B≤0]，则有[A≤B];反之亦然，下面给出利用定义法解决不等式问题的例子。

例1 已知：[a，b∈R+，n∈N，]求证：[a+ban+bn≤2an+1+bn+1]

证明： [a+ban+bn-2an+1+bn+1]

[=an+1+anb+abn+bn+1-2an+1-2bn+1]

[=abn+ban-an+1-bn+1]

[=abn-an+ban-bn]

[=a-bbn-an]

Ⅰ）当[a>b>0]时，[bn-an<0，a-b>0]

[bn-ana-b<0]

Ⅱ）当[b>a>0]时，[bn-an>0，a-b<0]

[bn-ana-b<0]

Ⅲ）当[a=b>0]时，[bn-ana-b=0]

[bn-ana-b=0]

综上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ有[a-ban+bn-2an+1+bn+1]

[a-ban+bn≤2an+1+bn+1]

二、利用导数证明不等式。

1.利用函数单调性证明不等式

定理1 设函数[f（x）]在[（a，b）]內可导，则[f（x）]在[（a，b）]内递增（递减）的充分必要条件是

[f'（x）≥0] [（f'（x）≤0）]，[x∈（a，b）]        （*）

定理2 若函数[f（x）]在[（a，b）]内可导，则[f（x）]在[（a，b）]内严格递增（递减）的充分必要条件是：

（1）对一切[x∈（a，b）]，有[f'（x）≥0][f'（x）≤0];

（2）在[（a，b）]内的任何子区间上[f'（x）]恒不等于0

该法适用于在某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式，通常是通过作辅助函数完成的。

证题程序：

①移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数[f（x）]