向妮，王玉娥，石菊花

(湖北大学数学与统计学院，湖北 武汉 430062)

0 引言

复Monge-Ampère方程的研究问题源于多重位势理论、微分几何中的Calabi猜想和物理学等，该问题涉及多复变、微分几何以及完全非线性偏微分方程等重要研究领域.该方程的Dirichlet边值问题已有相当丰富的研究成果，而对于其Neumann边值问题，李松鹰[1]得到了解的存在性、唯一性和正则性.对实Monge-Ampère方程的Neumann边值问题，Lions等[2]证明了解的存在性，他们的证明中关于解的梯度估计由解的凸性就很容易得到.2014年，徐金菊[3]证明实Monge-Ampère方程的Neumann边值问题梯度估计过程中也应用了解的凸性，然而对复情形而言，多重下调和函数没有凸函数这样的性质，因此解的梯度估计与二阶导数估计难度相同，并且文献[3]中的办法并不适用.笔者将在后续工作中，努力改进文献[3]中的办法讨论复Monge-Ampère方程Neumann边值问题的梯度估计.

在文献[1]中，作者直接证明了解的梯度估计.根据文献[2]中的办法，将整体约化到边界，再分3种情形讨论，直接得到解的梯度估计.而本文中，我们给出解的梯度估计一个新证明，先假设梯度估计存在，按照李松鹰[1]的思路重写二阶导数估计的证明，得到梯度估计与二阶导数估计的关系，再利用插值不等式得到解的全局梯度估计.我们研究复Monge-Ampère方程的Neumann边值问题：

其中Ω是Cn中有界光滑强拟凸域，ν为边界外法向量，γ0＞0，f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，ϕ∈C2(∂Ω).另外，取λ1(z)为∂Ω上曲率，记λ1=inf{λ1(z),z∈∂Ω}.

定理1Ω是Cn中有界光滑强拟凸域是边值问题(0.1)式与(0.2)式的多重下调和解.f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，ϕ∈C2(∂Ω)且γ0+2λ1＞0，γ0＞0，则

其中C与相关 .

1 最大模估计……

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