丁同岭，王成江

(三峡大学电气与新能源学院，湖北 宜昌 443002)

1 引言

随着科学技术的发展，信号的处理成了科学研究中的不可或缺的一部分，近些年，除了传统的傅里叶变换外，小波分析也在信号处理中到了很广泛的应用。对于其性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。在信号的采集过程中不可避免的含有噪声，其中就包括白噪声，噪声严重地影响对实验结果的分析，必须把数据进行预处理，尽可能的消除噪声的干扰。小波分析是在傅立叶分析的基础上发展起来的，它既保持了傅立叶分析的优点，又弥补了傅立叶分析的不足。与傅立叶分析相比，小波分析具有多分辨率的特点，它较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，巧妙地利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频段则采用较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。因此利用小波变换时频域的局部化性质可以很好地获得信号的局部化特性，对突变信号和非平稳信号的检测非常有效。研究表明，利用小波分析能有效地消除白噪声。

2 Fourier分析方法

对很多信号来说，傅立叶分析能给出信号中包含的各种频率成分。Fourier分析在信号分析处理中起着非常重要的作用，这是因为Fourier分析能将信号的时域特性变换为频域特性。分析时域信号f(t)，总是假定其能量有限，但Fourier分析有一定的局限性，用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息，傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况，傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。

3 短时Fourier变换

假设f(t)为能量有限信号，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义:

窗口傅立叶变换的物理意义:

若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(w，b)给出的是f(t)在局部时间范围[b－Dt/2，b+Dt/2]内的频谱信息。有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。

假设 f(t)的傅里叶变换为 F(η)，gw，b(t)的傅里叶变换为 Gw，b(η)，则:

这是窗口傅里叶变换的频域表示形式，窗口傅里叶频域变换的物理意义为若G(η)的有效窗口宽度为Dω，则WFg(ω，b)给出的是F(η)在局部频率范围[ω－Dω/2，ω+Dω/2]内的频谱信息。有效窗口宽度Dω越小，对信号的频率定位能力越强。由不确定性原理可知，窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。

4 小波变换

由于傅里叶分析方法和窗口傅里叶分析方法的局限性，小波变换得以产生和发展[1－5]，小波变换分为连续小波变换，离散参数小波变换和离散小波变换，其主要区别在于时间和控制窗口是否离散化。连续小波变换一般表示形式为:

其时域上的物理意义经常被称为数学显微镜的作用，即一组有效宽度的不同窗口的Fourier变换的汇集。在频域上，若 f(t)的傅立叶变换为 F(w)，ψa，b的傅立叶变换为 ψa，b，则根据 Parseval定理，有:

另外，对于连续小波变换，其时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积为一个定值，这也被称为恒Q性质，也是小波变换区别于其他变换的重要特征，其示意图如图1所示。

图1 A取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间

为了保证小波变换的逆变换存在，连续小波变换的母小波必须满足容许条件[6]

为了便于计算机进行计算，通过对时移参数和窗口宽度参数的离散化，我们得到了离散参数小波变换和离散小波变换，此处我们主要利用了离散小波变换来对信号进行去噪的。小波在离散的过程中仍应满足连续小波变换中的容许条件。小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。由多变率分析和Mallat算法并借助于MATLAB我们可以迅速得到分解并改造函数的一种方法。

近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，因而实际应用也非常广泛。在去噪领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪并获得了非常好的效果。具体来说小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点[7]:

(1)低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低;

(2)多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等;

(3)去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪;

(4)选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。

4.1 小波去噪模型的建立

为了更好的对比利用小波分解去除白噪声前后的效果，选取利用MATLAB编程语言生成了幅值不同的方波信号作为此次研究的原始信号，然后加入噪声强度已知的白噪声作为干扰信号，通过小波分解的方法来尽可能的去除加入的白噪声。小波分解通常通过以下几个步骤来完成[8]:

(1)对已有的信号进行小波分解

(2)合理的确定小波各层细节的阀值，来对得到的小波分解系数进行阀值处理。

(3)通过小波逆变换对信号进行重构。

小波去噪的效果主要取决于小波分解的层数是否合适与小波各层细节阀值的确定是否合适。

4.2 小波层数的选择

小波层数的选择没有固定的公式，一般根据经验尝试获取，在一般情况下，随着分解层数的增多，信号细节丢失越多，分解层数太少，对信号的信息获取又太少。此处取的信号分解层数为3层或4层。

4.3 小波系数阀值的选取

(1)无偏估计原则:是一种基于 Stein无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于给定的阈值T，得到它的似然估计，再将似然T最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。

(2)阀值原则:固定阈值T的计算公式:

其中，n是信号的长度。

(3)启发式阀值原则:是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折中。如果信噪比很小，按无偏似然估计原则处理的信号噪声较大，在这种情况下，就采用固定阈值形式。

(4)极值阀值原则:采用极大极小值原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。统计学上，这种极值原理用来设计估计器。因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。

4.4 软阀值和硬阀值

在确定阈值后，可以采用硬阈值或软阈值的处理方法对小波系数做阈值处理。硬阈值法只保留大于阈值的小波系数并将其他的小波系数置零，其表达式如下:

软阈值法将小于阈值的小波系数置零，并把大于阈值的小波系数向零做收缩，其表达式如下:

硬阈值信号和软阈值信号见图2。

图2 硬阀值与软阀值

从图中可以看出，硬阈值方法能够保留更多真实信号中的尖峰特征，但在某些点上会产生间断，而软阈值方法是在硬阈值的基础上将边界出现的不连续点收敛到零，这样可有效避免间断，使得重建的信号比较光滑。

5 小波去噪的MATLAB仿真对比

原始信号与加完白噪声之后的比较如图3。

下图显示的分别是噪声信号进行小波分解后产生的近似系数和四个细节系数的波形图，通过近似系数和细节系数可以得到小波系数，对小波系数进行重构后得到对原信号的还原，这里不对细节系数进行任何修改。

图3 噪声加入前后信号的比较

图4 小波近似系数与细节系数

通过软阀值法对信号处理前后的对比如图如图5:

图5 软阀值法处理前后信号的对比图

图6 硬阀值处理前后信号的对比图

通过硬阀值处理前后噪声信号的对比如图6:

通过硬阀值和软阀值处理的效果图可以看出，硬阀值去噪和软阀值去噪均能滤除大部分噪声成分，但不能完全滤除，硬阀值去噪和软阀值去噪的效果有所不同，经过硬阀值处理得到的信号比较粗糙，但很好的保留了信号尖峰部分，而软阀值处理则平滑了尖峰部分，使信号整体看起来比较平滑。

6 总结

通过运用小波变换来去除白噪声，对傅里叶、短时傅里叶、小波变换对比总结如下:

6.1 傅里叶变换

(1)首先傅里叶变换是周期函数的傅里叶级数展开过程中周期由定值向无穷大变化的一个过程。

(2)傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。

(3)经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，但可以通过逆变换完全恢复原始信号。傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。

(4)从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。

(5)傅里叶变换把信号的时域特征和频域特征联系在了一起，使我们可以从信号的时域和频域两个角度观察和分析信号，但二者却又是绝对分离的即在频域不包含任何时域信息，在时域同样找不到任何频域信息，对于傅里叶频谱中的某一频率，无法知道这一频率是何时产生的，只能从全局上分析信号。这样在信号分析中就面临着时域和频域的局部化的矛盾。

6.2 短时傅里叶变换

由上叙述可知傅里叶变换之后的图像仅包含频域信息，丢失了时域信息，在那些同时需要频域和时域信息的时候(在什么时候存在哪些频率)就显得无能为力，因此出现了短时傅里叶变换，短时傅里叶变换认为在一个小的窗函数时间段内信号是稳定的，信号包含的频率是不变的，利用一个窗口函数与原始函数卷积，在特定的时间仅计算该时间前后窗函数时间内的信号的傅里叶变换作为该时间点的傅里叶变换，即该时刻的频谱。

6.3 小波变换

而宽的窗口函数频率分辨率高但时间分辨率低，低频信号时间分辨率较低而频率分辨率较高，这是由海森堡不确定原理所确定的。这样便产生了小波，小波可以理解为是在短时傅里叶变换的基础上对窗口函数增加了一个尺度因子，该尺度因子伴随着频度变换而变化，使得在低频时降低窗口宽度增加时间分辨率而在高频时增加窗口宽度增加频率分辨率。而小波变换就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置时刻联系起来，一定程度上解决了傅里叶分析的缺点，但这并不是说小波分析方法可以替代傅里叶和短时傅里叶分析方法。如果是单纯进行频率域上面的分析，就没有必要使用小波分析的方法，使用傅里叶方法更简单，效果也更好一些。小波变换在使用过程中还用很多不确定性的问题，比如傅里叶变换的基函数是确定的，就是正弦和余弦函数，而小波变换的基函数则是可构造的。这种不确定性就带来了选择基函数的困难性，需要根据经验和尝试才能找到合适的基函数。还有文中提到的小波分解层数，小波阀值选取等等都具有不确定性，小波变换应用的难点便在于如何确定这些不确定性参数。

[1]Zhang Q，et al.Wavelet network[J].IEEE Trans Neural Networks，1992，3(6):889 －898.

[2]Bahavik R，et al.Wave-net:a multiresolution，hierarchical neural network with localized learning[J].AIChE Journal，1993，39(1):57 －81.

[3]Zhang J，et al.Wavelet neural network for function learning[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43(6):1485 －1497.

[4]Zhang Q.Using wavelet network in nonparametric estimation[J].IEEE Transactions on Neural Networks，1997，8(2):227 －236.

[5]王成江，聂德鑫.放电声发射波检测中小波基的选择[J]高电压技术，2003，29(10):39 －42.

[6]姚天任.现代数字信号处理[M].华中科技大学出版社，1999.

[7]孙延奎.小波分析及其应用[M].北京:机械工业出版社，2005.

[8]Berkner K，Wells Jr R O.Wavelet transforms and denoising algorithm[C].//Signal，System ＆ Computers，Conference Record of the Thirty-Second Asilomar Conference，1998:1639 －1643.