甘燕，邢哲鸣

(1.三峡大学电气与新能源学院，湖北 宜昌 443000;2.国网金华供电公司，浙江 金华 321000)

1 引言

因为互感和相间分布电容以及对地分布电容，电力系统各相线间存在复杂的电磁耦合现象，以致在求解三相输电线路波动方程时面临困难。为了解除各相线之间的耦合关系，简化求解过程，相模变换技术应运而生。凯伦贝尔(Karenbauer)变换和克拉克(Clarke)变换是目前应用最为广泛的两种相模变换，它们不仅适用于频域分析，还适用于暂态时域分析[1]。经分析发现，现有相模变换矩阵的致命缺陷是单一模量不能反映所有类型的故障[2－4]，即必须同时使用两种模量才能适用所有故障类型。因此，使得保护算法的计算量大大增加，从而影响保护的动作速度。

考虑到现有相模变换矩阵的不足，结合三相输电线路均匀换位情况下变换矩阵的数学性质，本文构造出了一种新型的相模变换矩阵，实现了单一模量反映所有类型的故障的目的。

1 相模变换原理

三相电压 uA、uB、uC和三相电流 iA、iB、iC构成的变量空间称为相变量空间，1模电压电流(u1、i1)、2模电压电流(u2、i2)和0模电压电流(u0、i0)对应的变量空间称为模变量空间。那么相模变换的表达式为:

式中，矩阵S为相模变换矩阵，相模变换后，1模、2模、0模各分量之间不存在耦合关系，波动方程参数矩阵化为对角矩阵。

2 常用相模变换及存在的问题

2.1 凯伦贝尔(Karenbauer)变换

凯伦贝尔相模变换矩阵为:

三相电流经相模变换后可得:

考虑到0模电流分量i0是在导线与大地之间传播，其回路参数受接地情况和土壤电阻率等因素影响，故障分析大多采用1模分量和2模分量[5]。

C相接地短路时，边界条件为ifa=ifb=0，代入式(3)中，可得i1=0，可见1模分量不能反映C相接地故障;B相接地短路时，边界条件为ifa=ifc=0，代入式(3)可得i2=0，即2模分量不能反映B相接地故障。

2.2 克拉克(Clarke)变换

克拉克相模变换矩阵为:三相电流经相模变换后得:

AC相间短路时，边界条件为 ifa=－ifc，代入式(4)中，可知i≡0，即1模分量不能反映AC相间短路故障;B相接地短路时，边界条件为ifa=ifc=0，代入式(4)可得i2=0，即2模分量不能反映B相接地故障。

综合上述分析可知，经现有常用的相模变换得到的线模量构造保护判据时，必须同时使用模分量和模分量才能反映所有类型的故障，即单一模量不能反映所有故障类型。

3 一种新型相模变换矩阵

三相输电线路完全换位情况下，其波动方程参数矩阵为平衡矩阵[6]，故可将参数矩阵P表示为:

由矩阵对角化原理可知，若S－1PS=Λ，其中Λ=diag{λ1，λ2，λ3}，解特征方程 det(P － λI)=0 可得:

设对应于特征值λi的右特征相量为Si=[S1i

S2iS3i]T，其中 i=1，2，3，令 S=[S1S2S3]，由矩阵特征值和特征向量的性质可得:

将式(5)代入式(7)可得:

将式(6)代入式(8)可得:

由此分析可得出结论:任一3阶矩阵，只要其元素关系满足式(8)～式(10)，即可作为相模变换矩阵S。但是结合2.1节、2.2节分析发现:若相模变换逆矩阵S－1出现0元素，那么对应模量就不能反映与0元素相应的接地短路故障;若S－1中第2行或第3行存在相等的元素，对应模量也不能反映出相等元素对应的两相相间短路。

根据以上分析，本文构造出一种新型的相模变换矩阵:

为了分析新相模变换的特性，表1给出了各种短路故障类型对应的1模电流分量和2模电流分量。由表1可知，经新相模变换得到的1模量和2模量均能够反映所有类型的短路故障。

表1 各种故障类型对应的电流模量

4 MATLAB仿真验证

本文利用MATLAB建立如图1所示的500kV双电源系统模型，经新相模变换后，依据电流行波突变时刻进行故障定位研究，用以验证新型矩阵的有效性与正确性。采样频率为1MHz。

图1 500kV双电源系统

图2 M端正向电流行波突变时刻

故障距离100kM，A相金属性接地短路时，图2给出了M端正向电流行波突变时刻仿真结果。

由仿真结果可知，M端正向电流行波突变时刻t=345us，测距结果为100.0524km，与实际故障距离相差0.0524km，测距误差仅为0.0175%。测距结果显示，基于新型相模变换的故障定位具有一定的有效性及正确性。

为了验证新型相模变换矩阵在各种故障类型的有效性，表2给出了不同故障类型不同故障距离下的测距结果。由表2的测距结果可以看出:不同故障类型不同故障距离下，基于新相模变换下的故障定位都能实现，其最大测量误差为0.2968km，对应最大相对误差为0.0989%，满足实际工程要求[5]。即新型相模变换矩阵对各种类型的故障都有效，能够实现单一模量反映所有故障的目的。

表2 不同故障类型不同故障距离下的测距结果

5 结语

针对现有相模变换矩阵的不足，本文构造出一种新型的相模变换矩阵。MATLAB仿真结果表明，新相模变换矩阵对各种类型的故障有效，能够实现单一模量反映所有故障类型的目的，且测距结果不受过渡电阻、故障类型影响。

[1]施围.电力系统过电压计算[M].西安:西安交通大学出版社，1988.

[2]王安定，葛耀中.模量变换技术在反应故障分量的微机保护中的应用研究[J].电力系统自动化，1988，12(3):17 －27.

[3]和敬涵，张飚，范瑜，等.解耦变换在电力系统暂态保护中的应用研究[J].北京交通大学学报，2006，30(5):101 －104.

[4]WEDEPOHL L M，SAHA J N.Radio-interference fields in multi-conductor overhead transmission lines.IEE Proceedings，1969，116(11):1875 －1884.

[5]葛耀中.新型继电保护与故障测距原理与技术[M].西安:西安交通大学出版社，1996.

[6]宋国兵，李森，康小宁，等.一种新相模变换矩阵[J].电力系统自动化，2007，31(14):57 －60.