魏 巍，杨志东，韩俊伟

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，150001哈尔滨)

多轴振动台在大型结构件、建筑和桥梁等各类试验中发挥着重大的作用［1-5］.与冗余度为2的常规冗余振动台相比，超冗余振动台的作动器数量超过8个，可以承受更大的负载［6］.冗余振动台常用基于自由度零位线性化的控制策略［7-8］，其控制点为上平台的几何中心.当振动台带负载工作时，由于负载的质心与控制点不重合，使得振动台存在动力学耦合，即水平方向的运动与绕水平轴的转动之间存在耦合作用，降低了系统的位姿跟踪精度.超冗余振动台由于具有更大的承载能力，因此其动力学耦合现象也更为突出.韩俊伟［8］以瞬态力的方式提出了多轴振动台的动力学耦合现象，并通过对转动给定信号进行补偿来实现瞬态力的控制，但是其并未对水平和转动之间的耦合进行分析，且补偿策略中需要对加速度反馈信号进行微分，而实际加速度信号往往存在较大的噪声和失真.Tagawa等［9］通过迭代的方式对给定信号进行补偿，实现振动台的解耦控制，不过该策略需要增加额外的振动控制器，并且需要较长的迭代时间.Plummer等［10］为提高飞行模拟器的动态响应，提出模态控制策略.Jiang等［11］在其基础上引入重力补偿，并增加压力反馈环节，提高系统的阻尼比，进一步拓展频宽.Yang［12］和Ogbobe［13］等将六自由度运动台从关节空间转换到模态空间进行解耦控制.这些模态控制策略针对的是无冗余的Gough-Stewart运动台，且其目的是增加单自由度运动时的频宽，各个自由度之间则依然存在耦合现象.

将液压缸考虑为液压弹簧，建立超冗余振动台的自由振动模型，通过标准模态矩阵将振动微分方程中的质量矩阵和刚度矩阵进行对角化处理.在自由度零位线性化控制框架下引入标准模态矩阵及其逆矩阵，将自由度控制转为模态控制，使得多输入多输出系统(MIMO)变成多个单输入单输出系统(SISO).在模态空间内应用SISO系统的三状态反馈策略，对各个模态传递函数进行极点配置，实现各自由度之间的解耦控制.

1 超冗余振动台模型

1.1 超冗余液压振动台

本文研究的超冗余液压振动台共有12组液压伺服系统，均匀分布在自由度空间3个垂直方向，其冗余自由度为6，如图1所示.每套液压伺服系统包括伺服阀、液压缸、位移及加速度传感器等，分别通过球铰与上平台和基础相连接.图1中给出了体坐标系及惯性坐标系的方向，初始位置时，2个坐标系的原点在上平台几何中心重合.

图1 超冗余液压振动台

1.2 电液伺服系统模型

超冗余振动台的电液伺服系统主要由伺服阀和双出杆对称缸组成，如图2所示.

图2 电液伺服系统

电液伺服阀的固有频率一般远大于液压缸的固有频率，因此可以将伺服阀看成一个比例环节［14］:

式中:xv，j为第j个伺服阀阀芯位移，iu，j为第j个伺服阀的输入电流信号，kv为阀芯位移与电流之间的比例系数．

为便于分析，对液压系统模型进行线性化处理.考虑液压缸处于中位，对滑阀的流量方程在工作点附近进行泰勒展开，可以得到

式中:QL，j为第j个液压缸的负载流量，kq为流量增益，kc为流量压力系数，PL，j为第j个液压缸的负载压力．

液压缸的流量连续性方程为

式中:A为液压缸有效面积;lj为第j个液压缸的活塞位移;ctc为液压缸的总泄漏系数;cr为油液压缩系数，且cr=Vt/(4βe)，Vt为液压缸腔总容积，βe为等效体积弹性模数．

第j个液压缸的出力fl，j表示为

1.2 超冗余振动台的自由振动模型

将超冗余液压振动台中的液压缸考虑为液压弹簧，可以得到如图3所示的自由振动模型，其中液压弹簧刚度为

该自由振动模型的振动微分方程可以表示为

式中q为自由度空间的位姿向量.

图3 超冗余液压振动台的自由振动模型

根据动能方程和势能方程，可得质量矩阵:

式中:ma为负载质量，mo为上平台质量，Ⅰx、Ⅰy、Ⅰz分别为平台和负载绕x、y、z轴的总转动惯量，m=ma+mo为中上平台及负载的总质量，Δh为负载质心与上平台中心的距离．刚度矩阵K表示为

式中:J为雅可比矩阵，是自由度位姿速度到液压缸速度的变换矩阵

根据振动理论［15］，振动模态关于质量矩阵和刚度矩阵正交，因此存在标准模态矩阵Φ，使得

式中:为模态质量矩阵;Ⅰ为单位矩阵;为模态刚度矩阵，即

式中ωj为第j阶模态对应的固有频率．

标准模态矩阵及模态刚度矩阵可以调用MATLAB中的语句［Φ，］=eig(K，M)进行求解．结合式(6)和式(7)可以得

2 模态空间解耦控制

2.1 三状态反馈控制

由于液压系统的阻尼比较小，系统在液压固有频率附近有较大的谐振峰，稳定性不好，因此振动台的控制中常用三状态反馈控制来增加系统阻尼比，改善稳定性［8］.

对于典型的电液位置伺服系统，如果不考虑伺服阀的动态特性，其比例控制时的开环特性可以近似描述为三阶传递函数:

三状态反馈的控制框图如图4所示，设系统经过三状态反馈控制后的期望开环传递函数为

由图4中可得该系统的开环传递函数为

三状态反馈控制的设计，就是求取图4中的3个反馈系数，比较式(9)与式(10)，令其系数相等，可得

式中:kaf、kvf、kdf分别为加速度、速度及位移反馈系数．

图4 三状态反馈控制

2.2 模态空间解耦控制

由于超冗余振动台的承载能力较大，与负载和平台质量相比，液压缸的质量可以忽略不计，用单刚体描述其动力学方程即可.另外考虑到多轴振动台在垂向有重力平衡装置，且离心力和科氏力对系统的动态特性影响较小［16］，因此将其动力学微分方程表示为

式中:kce=kc+ctc，为总的流量压力系数．考虑到振动台的12个液压缸，式(12)可变为

式中:iu=［iu，1iu，2…iu，12］T为12个伺服阀的输入电流构成的矢量;l=［l1l2…l12］T为12个液压缸位移构成的矢量．

将式(13)代入式(11)，并进行拉斯变换，得

令iu=Ju，l≈Jq，式(14)变为

结合式(5)和式(15)，整理可得

式(16)即为采用自由度零位线性化控制时的系统传递函数，由于质量矩阵M为非对角矩阵，因此该系统的各个自由度位姿之间存在耦合，引入标准模态矩阵Φ，令q=Φ，u=Φ，并结合式(8)，式(16)变为

式中ωi为第i阶模态的固有频率，为第i阶模态

位移，为第i阶模态控制量．根据式(17)得

式中:ζi为第i阶模态的阻尼比，由式(18)得

根据上文分析，并将三状态控制策略引入模态空间进行控制，可以得到如图5所示的模态解耦控制策略.液压缸的位移、速度及加速度反馈信号经过自由度合成矩阵转为自由度反馈信号，将自由度反馈信号通过模态变化转为模态反馈信号，参与模态空间的三状态反馈控制，模态控制量经过模态矩阵和自由度分解矩阵转为12路电液伺服阀的电流输入iu，从而实现超冗余振动台在模态空间的解耦控制．

图5 超冗余液压振动台的模态解耦控制框图

3 仿真分析

在Simulink中，根据式(1)～(4)建立电液伺服系统的仿真模型，超冗余振动台机械动力学部分的仿真模型通过SimMechanics建立，其仿真模型如图6所示.

图6 超冗余振动台SimMechanics仿真模型

本文研究的超冗余液压振动台的仿真参数如表1所示.仿真时采用定步长，步长为1 ms.

表1 超冗余液压振动台的仿真参数

水平方向液压缸的距离lx1=ly1=0.5 m，lx2=ly2=1 m;垂直方向液压缸之间的距离lz=1 m，如图1所示．

为对本文的解耦控制策略进行验证，将其与传统自由度零位线性化控制下的效果相比较.首先在x方向给定幅值为5 mm、频率为10 Hz的正弦信号，同时在绕y轴方向给定幅值为0.01 rad、频率为1 Hz的正弦信号.解耦控制前后绕y轴的转角如图7所示.图7中可以看出，采用传统控制策略时，沿x方向的运动会产生一个绕y轴的倾覆力矩，使得绕y轴的转动受到干扰力矩的影响，转角的跟踪精度下降，波形出现失真，采用解耦控制后，转动姿态的跟踪精度明显有了较大改善.

图8为绕y轴转角误差的比较，可以看出，未解耦时绕y轴的转角误差存在一个频率为10 Hz的波动分量，该波动是x方向平动对绕y轴转动的耦合作用结果.引入解耦控制后，这部分的耦合误差受到了明显的抑制.

图7 解耦前后绕y轴正弦转角跟踪比较

图8 解耦前后绕y轴正弦转角误差比较

分别在x、y方向用0～50 Hz的随机信号对系统进行激励，其他方向的信号给定(设为零).解耦前后，绕x、y轴的耦合转角如图9所示.从图9可看出，未解耦时，绕x轴和y轴的耦合转角的平均幅值约为0.004 rad，而经过解耦控制后，耦合转角降低到几乎为零.

图9 解耦前后耦合转角的时域比较

将绕x轴的耦合转角与y方向位移的比值进行傅里叶变换，图10(a)给出了解耦前后绕x轴耦合转角比值在频域上的耦合对比图.同样，解耦前后绕y轴耦合转角比值在频域上的耦合对比分析如图10(b)所示.从图10中可以看出，未解耦时，绕x轴的耦合比值最大为20 dB，解耦后，最大耦合比值减低到了-140 dB.解耦控制后，绕x轴的耦合比值和绕y轴的耦合比值在大部分的频率范围内与未解耦时相比降低了150 dB，转动与平动之间的耦合显著下降.

图10 解耦前后耦合转角的频域比较

4 结论

1)将液压缸作为液压弹簧，建立了超冗余液压振动台的自由振动模型，给出了振动微分方程中的质量矩阵和刚度矩阵，并用标准模态矩阵将其对角化.

2)分别通过雅可比矩阵和标准模态矩阵，将超冗余振动台的控制由关节空间转换到自由度空间，再由自由度空间转换到模态空间进行三状态反馈解耦控制，使得MIMO系统的控制转为多个SISO系统的控制.

3)对基于模态空间的解耦控制策略进行了仿真分析，结果表明，与传统的自由度零位线性化控制策略相比，超冗余液压振动台在本文提出的解耦方法下，转动跟踪精度显著提高，且在频域和时域上，自由度位姿间的耦合均明显减小.

［1］GHORASHI A，PLUMMER A R，EDGE KEVIN A，et al.Accurate decoupled linear modeling for robustH∞control of multi axis shaking tables［C］//Proceedings of the ASME Dynamic Systems and Control Conference.Hollywood:American Society of Mechanical Engineers，2009:1555-1562.

［2］SHUNSUKE Y，TAKAHIRO S，TOSHIRO T.The shaking table test of the interaction between the pier type wharf and the container crane during earthquakes［J］.Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers，Part C，2002，68:3209-3216.

［3］JI Xiaodong，KOUICHI K，TAKUYA N，et al.A substructure shaking table test for reproduction of earthquake responses of high-rise buildings［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2009，38:1381-1399.

［4］KIM J W，XUAN D J，KIM Y B.Design of a forced control system for a dynamic road simulator using QFT［J］.International Journal of Automotive Technology，2008，9(1):37-43.

［5］DELLA-FLORA L，GRÜNDLING H A.Time domain sinusoidal acceleration controller for an electrodynamic shaker［J］.IET Control Theory and Applications，2008，12(2):1044-1053.

［6］SEVERN R T.The development of shaking tables-A historicalnote［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2011，40(2):195-213.

［7］MATABI M，KOUICHI K，YASUTAKA T，et al.Shaking table-test model coupled dynamics in E-Defense［J］.Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers，Part C，2006，72:30-36.

［8］韩俊伟.三向六自由度大型地震模拟振动台的研制［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，1996.

［9］TAGAWA Y，KAJIWARA K.Controller development for the E-Defense shaking table［J］.Journal of System and Control Engineering，2007，221(2):171-181.

［10］PLUMMER A R，GUINZIO P S.Modal control of an electrohydrostatic flight simulator motion system［C］//Proceedings of the ASME Dynamic Systems and Control Conference.Hollywood:American Society of Mechanical Engineers，2009:1257-1264.

［11］JIANG Hongzhou，HE Jingfeng，TONG Zhizhong.Modal space control for a hydraulically driven Stewart platform［J］.Journal of Control Engineering and Technology，2012，2(3):106-115.

［12］YANG Chifu，HUANG Qitao，HAN Junwei.Decoupling control for spatial six-degree-of-freedom electro-hydraulic parallel robot［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2012，28(1):14-23.

［13］OGBOBE P O，YE Zhengmao，JIANG Hongzhou，et al.Modal space decoupled controller for hydraulically driven six degree of freedom parallel robot［C］//Proceedings of 2010 2nd International Conference on Mechanical and Electronics Engineering.Piscataway:IEEE Computer Society Press，2010:1280-1284.

［14］李洪人.液压控制系统［M］.北京:国防工业出版社，1990.

［15］金斯伯格J H.机械与结构振动:理论与应用［M］.白化同，李俊宝，译.北京:中国宇航出版社，2005.

［16］JIANG Hongzhou，HE Jingfeng，TONG Zhizhong.Characteristics analysis of joint space inverse mass matrix for the optimal design of a 6-DOF parallel manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45(5):722-739.