郭 凯，陈新元，李 勇，张俊峰，杨海清

（1.武汉科技大学 机械自动化学院，武汉 430081；2.山推楚天工程机械有限公司，武汉 430200）

0 引言

结构动力学模型试验研究是一种用来获取复杂结构动力学特性的较为客观和直接的研究方法。大跨度多自由度机构如混凝土泵车臂架、消防车云梯等都具有自由度多、控制调节灵活、共振频率低等特点，分析机体动力学特性，既能够较为准确地预估大跨度多自由度机构的振动水平，又能够指导机体的结构设计。由于在实际结构上进行模型试验危险系数大，不可控因素多，因此，建立一个与原结构满足一定动力学相似关系的缩比模型进行试验是现阶段一种行之有效的方法[1]。在缩比模型设计中，可分为完全相似模型和不完全相似模型。对于大跨度多自由度机构来说，由于各子系统尺度差异很大，相似模型很难实现完全相似，此时采用不完全相似缩比模型进行试验研究是必要的。

本文提出了一种以缩比模型的主要设计尺寸或者材料属性为控制变量，调整模型相似比，寻找到各变量合适的相似比，以满足影响试验对象的一个或者多个主要研究指标，从而设计出非完全相似试验模型。本文首次将神经网络联合NSGA-II算法的多目标优化方法运用于非完全相似模型的设计中，解决了多目标优化模型建模难及寻优难的问题。

1 非完全相似试验模型的设计方法

1.1 大跨度多自由度机构相似关系

在一般外载荷激励作用下，结构发生振动，各主要物理参数之间的关系可以用以下形式表示为：

式中，输入的主要参数有：外激励F，激励加载时间t；结构的主要参数有：材料的弹性模量E，材料密度ρ，结构的几何尺寸l，结构的固有频率ω，结构的阻尼比ξ以及结构的固有振型φ；输出的物理量有：结构的位移响应u，速度响应v和加速度响应a。根据π定理，由纲量分析法可以得到如下相似准则：

大跨度多自由度机构动力学特性包括结构的模态特性以及激振力与结构某部分振动响应之间的传递函数关系。其中结构的模态特征包括各模态的固有频率、固有振型和模态阻尼。只有准确地确定模态特性才能准确地确定传递函数关系，而只有准确确定传递函数关系才能准确地确定在一定的激振力作用下的振动响应[2]。由相似准则可以发现，主要影响机构动力学特性的固有频率比为，固有振型和模态阻尼的相似比均为1。

由于机构的振型不仅与质量、分布有关，也和刚度分布有关，对于刚度分布复杂的大跨度多自由度机构，在模型设计时难以实现固有振型相似比为1，只能尽可能提高相似模型振型相似度[2]。对于大跨度多自由度机构来说，由于各子系统尺度差异很大，各尺寸统一相似比难以实现，若减少尺寸相似比，材料的弹性模量和材料密度相似比相差很大，难以找到合适材料。特别当模型与原型采用相同材料时，为了满足动力学相似，完全相似缩比模型固有频率将比原型大得多，如果要使模型与原型的共振区相同，其激振频率将比原型大得多，这会给模型试验带来极大困难。因此非完全相似模型的建立十分必要。

1.2 非完全相似试验模型的设计

非完全相似试验模型主要用于特定的试验研究，指模型各个设计尺寸相似比和模型各处材料属性相似比不唯一。在模型设计中，为满足特定研究需要，需使模型主要指标符合要求。由于设计指标之间多为对立关系，因此以缩比模型的主要设计尺寸或者材料属性为控制变量，运用改进型BP神经网络拟合输入输出之间非线性关系，最终通过NSGA-II算法寻找最优设计值。

BP神经网络可以直接使用样本数据实现输入层与输出层之间的非线性映射，对于难以建立确定数学模型的问题，BP神经网络非常适用，因此本文采用BP神经网络建立多目标优化模型，解决多目标优化数学模型难以建立的问题。同时针对传统BP神经网络收敛速度慢，易陷于局部极小值等缺点，利用遗传算法对神经网络的权值和阈值进行优化，对与多输入和多输出的神经网络，可获得精度更高的多目标优化模型[3]。NSGA-II算法，即带精英保留策略的非劣排序遗传算法，具有良好的收敛性和鲁棒性，并且Pareto解在目标空间分布均匀，有出色的多目标寻优能力[4]。由于模型设计时，各优化目标大多存在相对立的关系，将NSGA-II多目标优化算法运用于非完全相似模型设计，解决了模型设计寻优难的问题。

针对大跨度多自由度机构，为了研究其动态特性和振动特性，建立非完全相似模型时，可以模型的主要设计尺寸L1，L2，…，Ln，材料密度ρ1，ρ2，…，ρn或材料弹性模量E1，E2，…，En中一个或者多个为设计变量，即：

为使试验模型与原机构动态特性一致，应使试验装置低阶固有频率变化范围与和原机构一致。考虑到系统稳定性，模型最大应力应小于许用应力。将上述因素作为多目标优化问题的目标，建立多目标优化模型如下：机构的低阶固有频率，表示试验装置的最大应力

式中ωm表示试验装置的低阶固有频率，ωp表示原值，表示材料的许用应力值。针对不同的试验需求，可以选取不用设计变量和优化目标。

结合改进型BP神经网络和NSGA-II模型各自的优点，寻找非完全相似模型最优设计值，提高了模型设计的效率和准确性，具体原理流程如图1所示。

图1 改进型BP神经网络NSGA-II寻优模型流程图

2 实例分析

混凝土泵车臂架是典型大跨度多自由度机构，臂架的振动是低阶模态起主导作用，实车臂架共振主要处于前五阶，其中第二阶振型的振幅最大，可达到3米以上，工程用混凝土泵车臂架二阶固有频率一般在0.4Hz附近。本节将设计44米混凝土泵车臂架试验模型，材料选为与实车臂架一致的高强冷轧细晶合金结构钢，许用应力为576MPa，所设计模型的二阶固有频率在0.4Hz左右。通过比较上述方法与传统方法设计结果，研究上述非完全相似试验模型设计方法的最优性。

2.1 改进型BP神经网络建立

由于材料密度和弹性模量是材料固有属性，不易控制。通过有限元原件分析灵敏度发现臂架第1、2、4和5节臂架长和厚是影响模型应力和固有频率的主要参数，选取臂其为输入变量，即：

上式中L和H分别表示各臂架的长和厚，单位为mm。通过有限元软件仿真得到不同输入时试验模型的二阶固有频率 2mω(Hz)和最大应力值 maxσ(MPa)。选取仿真得到的156组数据中130组数据作为神经网络训练数据，26组作为测试数据。经多次训练比较误差，取神经网络隐层节点数为9，构建成8-9-2型的改进型BP神经网络。训练后的神经网络相对误差如图2所示，最大应力值 maxσ的最大预测误差为5.6%，二阶固有频率 2mω的最大预测误差为0.9%，预测误差小于8%，在误差允许范围内[3]。

图2 训练后的神经网络相对误差

2.2 NSGA-II算法多目标优化

根据实际情况取控制变量取值范围为：

取种群大小为100，适应度函数数值偏差为1×10-10。通过计算得到Pareto解的前端个体分布图，如图3所示。从图中44个最优解的分布情况可以看出，满足固有频率要求和应力要求是相对立的，采用NSGA-II算法进行非完全相似模型设计是十分必要的。综合考虑，选取Pareto最优解中，[1711，1607，1785，1581，4.11，2.38，4.54，4.95]为设计解，此时模型二阶固有频率为0.4084Hz，最大应力值为478.3492MPa。

图3 Pareto解的前端个体分布图

2.3 方法比较

运用有限元软件优化设计方法得到三组推荐值，如表1所示，由于篇幅问题，具体求解过程不再赘述。三组推荐点与本法方法的最优解发现比较，采用本文的方法设计的模型，固有频率最优解至少提高10.6%，最大应力值最小值至少减少了8.4%，均优于运用有限元软件设计的方法。

表1 有限元软件法和新方法最优值比较

3 结束语

本文将改进型BP神经网络和NSGA-II算法运用于非完全相似试验模型设计中，解决了非完全相似模型，多目标优化模型建模难，寻优难的问题。通过以混凝土泵车臂架试验模型设计为例，与运用有限元软件的设计方法进行比较，验证了改进型BP神经网络建模的有效性和NSGA-II求解结果的最优性，是一种有效的非完全相似模型设计方法。

[1] 陈喆.基于相似理论和模型试验的结构动响应分析[D].江苏：南京航空航天大学,2012.

[2] 李明强.直升机机体动力学相似模型设计与结构响应主动控制[D].江苏：南京航空航天大学,2008.

[3] 史峰,王辉,郁磊,等.Matlab智能算法30个案例分析[M].北京：北京航空航天大学出版社,2011.

[4] 王秀丽,李淑慧,陈皓勇,王锡凡,梅姚,等.基于非支配遗传算法及协同进化算法的多目标多区域电网规划[J].中国电机工程学报2006,26(12).

[5] 杨俊杰.相似理论与结构模型试[M].湖北：武汉理工大学出版社,2005.

[6] Yuhu Ba, Jifu Zhou,Qingping Li.Designing of Partial Similarity Models and Evaluation Method in Polymer Flooding Experiment[J].Springer Science+Business Media B.V.9 April,2008.

[7] Li Gui xian,PENGYun-feng,ZHANG Xin.Similarity theory based method for MEMS dynamicsanalysis[J].Journal of harbin Institute of Technology,2008,15(3).