范忠良

摘 要： 四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若？劭p则？劭q，同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若？劭q则？劭 p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题；两个互为逆否的命题同真或同假.

关键词： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题

在数学中用语言、符号或式子表达时，可判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题.

逻辑联接词有“或”、“且”、“非”，不含逻辑联接词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联接词构成的命题叫复合命题，复合命题构成的形式有三种：“p或q”、“p且q”、“p非q”.

“马有四条腿”，“迭部县是甘南州的一个县”，“等边三角形的三个角相等”，这三句话是不是命题？是命题.因为这三句话是判断一件事情的语句，下面做几个变化：第一，把这三个命题的条件与结论找出来，然后将它们互换；第二，将条件与结论分别否定后写出新的句子；第三，将否定了的条件与结论互换看得到什么样的句子.

1.①马有四条腿；②有四条腿的是马；③不是马的没有四条腿；④没有四条腿的不是马.

2.①迭部县是甘南州的一个县；②甘南州的一个县是迭部；③不是迭部县就不是甘南州的县；④不是甘南州的县就不是迭部县.

3.①等边三角形的三个角相等；②三个角相等的三角形是等边三角形；③不是等边三角形的三个角不相等；④三个角不相等的三角形不是等边三角形.

你可能会想，第一组的②③与第二组的②③是错误的，它不是真命题.然而它们确实是命题，因为它们也是判断一件事情的语句，不论判断错误还是正确，都是命题.下面我们讨论它们之间的关系.

由前面的变化可知，这三组命题的①与②命题中，一个命题的题设（即条件）与结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题称为互逆命题，把其中一个叫做原命题时，另一个就叫做它的逆命题.在①与③两个命题中，一个命题的题设与结论分别是另一个命题的题设与结论的否定.这样的两个命题互否命题，把其中的一个叫做原命题时，另一个叫做它的否命题.①与④两个命题中，一个命题的题设与结论分别是另一个命题的结论与题设的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中一个叫做原命题时，另一个就叫做它的逆否命题.

若用A与B分别表示原命题的题设与结论，用A与B分别表示A与B的否命题，则四种命题的形式如下：原命题：若p成立，则q就成立，或“p？圯q”；逆命题：若q成立，则p就成立，或“q？圯p”；否命题：若？劭p成立，则？劭q就成立，或“？劭p？圯？劭q”；逆否命题：若？劭q成立，则？劭p就成立，或“？劭q？圯？劭p”.

对照第一组的四种命题，我们观察得到：同一个命题的否命题与逆命题是互逆的；同一个命题的逆命题与逆否命题是互否的；同一个命题的逆命题与否命题是互逆的.

下面我们再看看第一组的四种命题：①正确而②不正确，而第三组中①正确，②也正确，所以说，原命题正确，它的逆命题不一定正确.同样看到第二组的①正确而③不正确，第三组中的②③同时正确，由此可知：原命题正确，它的否命题不一定正确.观察第三组中的①与④，发现它们分别是同时正确，由此可见：原命题正确，那么它们的逆命题一定正确.

写出一个命题的逆命题，否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件与结论，然后按定义来写.在判断原命题及其逆命题、否命题及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

1.四种命题间的逆否关系

原命题与逆命题互为逆命题，否命题与逆否命题互为逆命题；原命题与否命体互为否命题，逆命题与否命题互为否命题；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.

上面是四中命题之间的相互关系，那么它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？观察下面四个命题：

（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数；（2）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数；（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数；（4）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数.

（2）以上面四个命题为例，并命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它的逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系就不难表述.

2.四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假关系；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有确定的关系.

由于原命题与它的逆否命题有相同的真假性，因此在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接证明原命题为真命题.

例：证明：若x2+y2=0，则x=y=0.

证明：若x、y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2>0，所以x2+y2>0，也就是说x2+y2≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，原命题也是真命题.