王献春

一次函数y=kx+b的图像是一条直线，其中b是直线与y轴交点的纵坐标，如果直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c综合起来再求b的相关值，题目就会增加很大难度.若充分利用数形结合思想来分析则可以巧妙解决此类问题.

1 直线与其它图像只有一个交点

例1 已知关于x的一元二次方程x2+（4-m）x+1-m=0.此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+（4-m）x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值.

分析 仔细审题，切实明确“将抛物线y=x2+（4-m）x+1-m向右平移3个单位”.直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点，即联立直线解析式与抛物线方程组，转化为一元二次方程中根的判别式Δ=0.（如图1）

简解 把x=-3代入原方程，解得m=1.所以y=x2+3x.即y=x+322-94.依题意，可知新的抛物线的解析式为y′=x-322-94.即y′=x2-3x

因为抛物线y′与直线y=x+b只有一个公共点，所以x2-3x=x+b..即x2-4x-b=0.因为Δ=0.所以-42-4×-b=0.解得b=-4.

图1 图22 直线与其它图像有两个交点

例2 二次函数y=x2+bx+c，其顶点坐标为M（1，-4）.将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+b与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围.

分析 直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，需要求出新图像解析式，画出新图像，尤其关注“将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变”，再仔细观察图像，利用好两个极值点A和B求出相应的b值即可.（如图2）

简解 因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x-1）2-4=x2-2x-3，令x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3.所以A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），当直线y=x+b经过A点时，可得b=1.当直线y=x+b经过B点时，可得b=-3.翻折后抛物线y=-x2+2x+3与y=x+b相切时，Δ=0，求出b=134由图可知符合题意的b的取值范围为-3

3 直线与其它图像有三个交点

例3 已知关于x的一元二次方程12x2+（m-2）x+2m-6=0.

（1）当m<3时，关于x的二次函数y=12x2+（m-2）x+2m-6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；

（2）在（1）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G.请你结合图象回答：当直线y=13x+b与图象G有三个公共点时，b的取值范围.

分析 （1）解关于x的方程，利用2AB=3OC，可求得m=1.

（2）结合题意准确画出图像，尤其明确“将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变”，再仔细观察图像是解题关键.先找出过点C时的b值，再找到当直线y=13x+b（b<-4）与函数y=12x2-x-4（x>0）的图象只一个公共点即相切时b值即可.

简解 （1）令y=0，则12x2+（m-2）x+2m-6=0.解得x1=6-2m，x2=-2.

因为m<3，点A在点B的左侧，所以A（-2，0），B（-2m+6，0）.所以OA=2，OB=-2m+6.

令x=0，得y=2m-6.所以C（0，2m-6）.所以OC=-（2m-6）=-2m+6.因为2AB=3OC，

所以2（2-2m+6）=3（-2m+6）.解得m=1.

（2）当m=1时，抛物线的解析式为y=12x2-x-4，点C的坐标为（0，-4）.当直线y=13x+b经过C点时，可得b=-4.