丁丁 蔡历亮

1 另类方法

事实1 若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，则

（1）A、B、C三点不在同一直线上；

（2）直线AB、AC、BC均不与x轴垂直.

事实2 平面直角坐标系中，A、B、C三点不在同一直线上，且直线AB、AC、BC均不与x轴垂直，则存在着唯一一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），其图象过A、B、C三点.

事实3 如图1，平面直角坐标系中，A、B两点是等高点（即两点的纵坐标相等），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A、B两点.若抛物线开口向上，则抛物线经过图中的①区、⑤区、③区，不经过图中的④区、②区、⑥区；若抛物线开口向下，则抛物线经过图中的④区、②区、⑥区，不经过图中的①区、⑤区、③区.（本文中出现的①～⑥区均不包含其边界）

由上述事实，我们可获得确定抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口方向的一个另类方法.

图1方法1 如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点是等高点，若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点.若C点在图中的①区或⑤区或③区，则抛物线开口向上；若C点在图中的④区或②区或⑥区，则抛物线开口向下.

2 典型例题

例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0，若抛物线开口向下，则t的取值范围是 .

析解 如图2，O点是原点，因P（t，0），所以P点、O点是等高点.

当t<-3时（如图3），A在“P—O”的⑤区，抛物线开口向上；

当t=-3时（如图4），直线PA⊥x轴，无此抛物线；

当-3

当t>0时（如图6），A在“P—O”的④区，抛物线开口向下.

所以t的取值范围是t>-3且t≠0.

图2 图3 图4

图5 图6例2 如图7，平面直角坐标系中，O是原点，A、B的坐标分别为（-1，0）、（2，0），以O为圆心，OB为半径的圆与y轴交于C、D两点，与x轴交于E点.点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度在⊙O上逆时针运动.设P的运动时间为t（0≤t<3π），问：当t为何值时，过A、B、P三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上.

图7 图8析解 如图8，过点A作x轴的垂线交⊙O于F、G，连接OF、OG.

CE=90·π·2180=π，CEB=270·π·2180=3π.

在Rt△OAF中，∠FAO=90°，

OA=1，OF=OB=2，OA=12OF，所以∠OFA=30°，∠FOA=60°，所以∠COF=90°-∠FOA=90°-60°=30°，所以CF=30·π·2180=13π.同理得DG=13π，所以CG=CFD-DG=180·π·2180-13π=53π.

①当0≤t<13π时，点P在CF（不含F点）中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下.

②当t=13π时，点P与点F重合，PA⊥x轴，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

③当13π

④当t=π时，点P与点E重合，P、A、B三点在同一直线上，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑤当π

⑥当t=53π时，点P与点G重合，PA⊥x轴，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑦当53π

综上所述，当13π

3 方法拓展

若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）所经过的三个点不一定有等高点，则抛物线的开口方向又该如何确定？此时，我们可使用方法2.

方法2 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点，且x1

说明：（1）根据y1与y2的大小关系，可分为三种情况①y1y2，③y1=y2，分别对应着图9、图10、图11.

本文所述的“判别二次函数图象开口方向”的另类方法或许不是最简捷的，但换个角度思考，为我们的思维打开了一扇窗，这正是创新思维所需要的.