罗见今

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

晚清数学家戴煦对正切数的研究
——兼论正切数与欧拉数的关系

罗见今

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

晚清数学家戴煦在《外切密率》中用递归法同时定义了正切数和欧拉数，在世界数学史上是一重要创新，提醒人们注意两者间的“对称”关系。揭示戴煦成果的意义，特别对西方数学史上研究较少的正切数作拓展研究，从递归函数、特殊函数和计数函数的角度，阐明正切数的性质及其与欧拉数的关系，在经典领域获得40多个新公式，这些迟到的认识显示出东西方文化背景下数学研究的差异性。

晚清数学家；戴煦；正切数；欧拉数；递归函数；特殊函数；计数函数

清代晚期，传统数学在经历了长期缓进的寂寞之后开始复苏，在西学东渐的浪潮冲击下，中算内部，业已酝酿着向变量数学的过渡。对无穷级数、垛积差分等的研究，集中了不少中算家的兴趣。这些属于微积分创始前期的工作，总的来看，不能与当时大踏步前进的西方数学相提并论；但是，中算家们利用传统数学的工具，发挥了自己的长处，穷思极虑，走出一条富有个性色彩的道路，那就是用离散的手段处理连续的对象，把整体上无限的问题，转化为局部有限次求解，从而得到用微积分工具所得到的类似的结果。对分析学而言，他们所获得的大批复杂的级数展开式似乎不具有基本的重要性，然而从离散数学的观点来看，计算过程中为求展开式各项系数而归纳出的大量计算规律、互反关系等，至今在组合数学计数理论中足资借鉴，值得研究［1-3］。……