杜志斌

摘 要 矩阵对角化是高等代数中的一个重要内容，其在矩阵研究中起着非常重要的作用。图谱理论主要运用线性代数方法来研究图的各种性质。本文将给出矩阵对角化在图谱理论中的一个应用。

关键词 矩阵对角化 图谱 特征值重数

中图分类号：O151.21 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.07.027

Application of Diagonalization of Matrices in Spectral Graph Theory

DU Zhibin

（School of Mathematics and Statistics， Zhaoqing University， Zhaoqing， Guangdong 526061）

Abstract Diagonalization of matrices is an important part in higher algebra， which plays an important role in the research of matrices. Spectral graph theory mainly uses the methods related to linear algebra to study various properties of graphs. In this paper， we will present an application of diagonalization of matrices in spectral graph theory.

Key words diagonalization of matrices; spectra of graphs; multiplicity of eigenvalues

0 引言

记为阶单位矩阵。对于任意实对称阵，若是的一个特征值，则记（）为的（代数）重数。此外，若不是的特征值，则习惯上记作（） = 0。

矩阵对角化是高等代数中的一个重要内容，其在矩阵研究中起着非常重要的作用。特别地，若阶矩阵可对角化，则对于任意常数，总有

秩（） = （）    （1）

参见[1]。

本文将给出矩阵对角化在图谱理论中的一个应用。所谓图谱理论，它主要运用线性代数方法来研究图的各种性质。

作为数与形相互结合的一个典范，图与矩阵有着紧密的联系。给定一个图，可定义出一些相应的矩阵，如邻接矩阵、Laplacian矩阵等。通过研究这些由图所导出的矩阵的特征多项式、特征值、特征向量等，学者们得到了一大批精彩的新理论和结果，并由此建立了图谱理论。

在图谱理论的研究中，研究的核心内容之一是基于图所导出的各类矩阵的特征值，其中以图的邻接矩阵的研究尤为突出。

本文所考虑的图皆为无向简单图。图的邻接矩阵（）定义为[2]：

图的邻接矩阵的特征值简称为图的特征值，由这些特征值所组成的多重集称为图的邻接谱。

显然图的邻接矩阵是一个实对称阵，从而它可对角化。于是，我们很自然地提出一个问题：矩阵对角化的知识是否可运用到图的邻接谱的研究中。……