曾庆怡（韶关学院 数学与统计学院 ，广东 韶关512005）

Sylvester定理的应用

曾庆怡
（韶关学院 数学与统计学院 ，广东 韶关512005）

摘要：结合高等代数专题教学经验和近年高等代数的考研真题，总结了利用矩阵的Sy1vester定理来解决有关矩阵特征值和行列式问题的方法，供相关人员参考.

关键词：Sy1vester定理；特征值；行列式

在高等代数考研中，矩阵的特征值和特征向量以及行列式计算越来越重要，有些试题要么用常规方法来解决计算量会很大，要么就无从下手.本文使用矩阵的Sy1vester定理来解决这两类问题.

Sy1vester定理［1］：设A是数域F上的m×n矩阵，B是n×m矩阵，m≥n，AB的特征多项式是fAB（λ），BA的特征多项式是fBA（λ），则有：

这里Em表示m阶单位矩阵.该定理表明对数域F上的任意矩阵A，B，AB和BA有相同的非零特征值；特别地，如果m=n，则有|λE-AB|=|λE-BA|，即AB与BA有完全相同的特征值（特征向量未必相同!）.

1　求矩阵的特征值

设A是n阶矩阵，如果A能够分解为两个矩阵B，C的乘积，A=BC，且CB特征值容易求出时，可以考虑使用Sy1vester定理.特别地，如果矩阵A的秩r（A）≤2，则A的特征值很容易求出.

如果矩阵A可以表示为kE±BC的形式，其中r（BC）≤2，则矩阵BC的特征值可以使用Sy1vester定理求出，进而求出A的特征值.

例1设b=（b1，b2，…bn）T是n维非零向量，求矩阵：

的特征值和特征向量.［中南大学，2002］.

解因为A的任意3阶子式全是零，所以r（A）=2.于是：

当λ=0时，由于r（A）=2，AX=0有n-1个线性无关的解向量，即为A的属于特征值0的特征向量.因为b为非零向量，存在bi≠0.于是AX=O与下面方程组同解：

取x2，x3，...，xn+1为自由未知量，依次令x2，x3，...，xn+1为bi，其余为0，可得A的属于特征值0的特征向量：

例2设α，β是欧氏空间Rn的两个正……