罗　琳,　马志勇,　谢晓强(上海第二工业大学理学院,上海201209)

可积耦合方程的代数结构

罗琳,马志勇,谢晓强
(上海第二工业大学理学院,上海201209)

摘要:主要根据李代数半直和思想,构造非线性数学物理方程的可积耦合系统(包括连续和离散2种情形),并研究这些连续和离散的可积耦合方程的代数结构,即耦合方程的元素组所对应的李积元素组也满足耦合的零曲率方程。关键词:可积耦合方程;零曲率表示;代数结构

0　引言

在孤立子理论中,可积耦合系统日益受到关注。常见的构造可积耦合系统的方法有色散法、李代数半直和法、Loop代数法。人们可以利用这些方法得到方程的可积耦合系统[1-4],进而研究耦合系统的可积性质,并求解该耦合方程。而在可积系统中方程的对称是一个非常重要的方面,如果方程本身的性质如Lax对等不明确,那么最有效的求解该方程的方法是考虑它们的对称,而且对称包含了很多好的数学结构[5-11]。本文主要讨论和综述连续和离散的可积耦合系统的代数结构。

1　连续的可积耦合方程

设G表示矩阵loop代数,设矩阵谱问题是:

式中:u=u(x,t)=[u1(x,t)u2(x,t)···uq(x,t)]T, x,t∈R是势函数;U,V∈G是同阶方阵也被称作Lax对;λ∈C是谱参数;f(λ)∈C∝(C)。则根据零曲率方程

可确定一个连续的可积方程

这就说明元素组(U,V,K)满足零曲率方程

式中,U0(u)[K]表示 Gateaux导数,U0(u)[K]=U(u+εK)|ε=0。

为了生成连续方程式(3)的可积耦合系统,我们引进李代数的半直和思想,选取另一个loop代数Gc,使得

不妨选择谱问题式(1)的耦合谱问题为:

这里矩阵Uc=Uc(v,λ),V=Vc(u,v,λ)与U,V同阶,则相应的零曲率方程