广东省大埔县虎山中学 张俊畅

2014广东高考（理科）21题试题看似常规，但解法多样灵活，注重对数学思想和方法的考察，请看此题第二问的其中一种解法，并谈谈对此解法的一些思考。

题目：

（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；

（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；

（3）若k＜-6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）。

分析：（2）由（1）可知函数f(x)的定义域D为：

在同一直角坐标系中画出g(x)与h(x)的图像，如下图所示：

由上图可知在(-∞,x1)，g(x)＞0,h(x)＞0且g(x),h(x)都为减函数，∴g(x)·h(x)为减函数，从而f(x)为增函数；在(x3,-1)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都为减函数∴g(x)·h(x)为增函数，从而f(x)为减函数；在(-1,x4)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都为增函数∴g(x)·h(x)为减函数，从而f(x)为增函数；在(x2,+∞)，g(x)＞0，f(x)＞0且g(x),f(x)都为增函数，∴g(x)·h(x)为增函数，从而f(x)为减函数，所以f(x)函数的单调递增区间为，，)单调递减区间为，,-1),。

在此，我们就会思考：两个单调的函数的积的单调性到底是怎样的呢？依据又是什么？

下面将就此展开讨论，从三个方面谈谈自己的看法。

1.影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素

要想知道两个单调函数的乘积的单调性，必须先明白影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素。毫无疑问，这必然跟原函数的单调性密切相关，所以在探讨两个单调函数的乘积的单调情况之前，我们必须先知道原函数的单调情况。此外，由单调增函数（或者减函数）乘以一个负数，其单调性变为减（或者增），而单调增函数（或者减函数）乘以一个正数，其单调性仍为增（或者减），可以清楚的知道两个单调函数相乘之后的单调性还跟原函数函数值的正负性有关。

2.利用导数证明两个单调函数的乘积的单调情况

我们可以知道[f(x)g(x)]ˊfˊ(x)g(x)+f(x)gˊ(x)，有了这个公式之后我们就可以利用求导法来判断两个单调函数的乘积的单调性，具体证明如下表。

第一种情况：当函数f(x)的函数值为正值时

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)f(x) ↑+↑+↑+ ↑+ ↓+↓+ ↓+ ↓+g(x) ↑+↑-↓+ ↓- ↑+↑- ↓+ ↓-fˊ(x) + + + +----gˊ(x) + +-- + +--fˊ(x)g(x) +- +---- +f(x)gˊ(x) + +-- + +--[f(x)g(x)]ˊ+不确定不确定-不确定不确定-不确定f(x)g(x)↑不确定不确定↓不确定不确定↓不确定

第二种情况：当函数f(x)的函数值为负值时

(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)f(x) ↑-↑-↑-↑-↓- ↓-↓- ↓-g(x) ↑+↑-↓+↓-↑+↑-↓+ ↓-fˊ(x) + + + +----gˊ(x) + +-- + +--fˊ(x)g(x) +- +-- +- +f(x)gˊ(x)-- + +-- + +[f(x)g(x)]ˊ不确定- +不确定-不确定不确定 +f(x)g(x)不确定↓↑不确定↓不确定不确定 ↑

3.举例论证相关结论

情形（1）：设函数f(x)=x，g(x)=x2，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调增加，且函数值为正，函数g(x)单调增加，且函数值为正；得f(x)g(x)=x3(x＞0)，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=x3单调增加，成立。这种情况可以简单的概括为：同增同正，得增。

情形（2）：第一种情况：设函数f(x)=x，g(x)=-x-1，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调增加，且函数值为正，函数g(x)单调增加，且函数值为负；得f(x)g(x)=-1，为常数函数，不具备单调性。

第二种情况：设函数f(x)=x，g(x)=-x-2，且自变量x＞0，满足条件：f(x)函数单调增加，且函数值为正，函数g(x)单调增加，且函数值为负.得f(x)g(x)=-x-1，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=-x-1单调增加。

第三种情况：设函数f(x)=x2，g(x)=-x-1，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调增加，且函数值为正，函数f(x)单调增加，且函数值为负；得f(x)g(x)=-x，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=-x单调减少。

从这三种情况来看，原函数同增，函数值异号时两个单调函数的乘积的单调性不能确定，得到的函数可能是增函数，也可能是减函数，甚至可能是常数函数。

情形（3）：设函数f(x)，g(x)=-x2，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调增加，且函数值为正，函数g(x)单调减少，且函数值为负.得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=-x3单调减少，成立. 这种情况可以简单的概括为：一增一减，一正一负，单调性与函数值为负值的函数相同。

情形（4）：设函数f(x)=x-1，g(x)=x-2，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调减少，且函数值为正，函数g(x)单调减少，且函数值为正.得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=-x3单调减少，成立. 这种情况可以简单的概括为：同减同正，得减.

情形（5）：设函数f(x)=x-1，g(x)=x-2，且自变量x＞0，满足条件函数f(x)单调增加，且函数值为负，函数g(x)单调增加，且函数值为负. 得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知当时x＞0，函数单f(x)=x-3调减少，成立。这种情况可以简单的概括为：同增同负，得减。

情形（6）：设函数f(x)=-x，g(x)=-x-2，且自变量x＞0，满足条件：函数f(x)单调减少，且函数值为负，函数g(x)单调减少，且函数值为；得f(x)g(x)=x3(x＞0)，易知当x＞0时，函数f(x)g(x)=x3单调增加，成立. 这种情况可以简单的概括为：同减同负，得增。

根据上述多种情况的讨论，我们可以得到以下六条结论：一是同增同正，得增；二是同增同负，得减；三是同减同正，得减；四是同减同负，得增；五是一增一减，一正一负，单调性与原函数中函数值为负的函数相同；六是其余情况，单调性不确定。