王海燕

（辽宁省海城市海城高级中学）

不等式是高中数学教学中的重要内容，不等式的证明是高中数学的一个难点，也是历届高考中的热点问题。新课程标准把不等式设置为专题选讲内容，对本专题的设计特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，注重让大多数学生通过不等式的几何背景理解数学思想、认识数学本质，强调了不等式的几何直观，而淡化了证明不等式中比较复杂或过于技巧化的方法。

每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述，代数公式的几何直观，给原本抽象的代数式赋予更本质、更易于理解和记忆的意义，也体现了数学中最重要也是最基本的思想方法之一——数形结合，体现了数学的本质特征。美国数学家斯蒂思曾说：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。法国数学家G.绍盖曾说：一堆没有实验和直观所支持的定义，不能开发智力，而只能关闭思路。直观是创造活动和几何学之间的连杆，思维想象则是另一重要连杆。可见几何直观在数学学习与研究中的广泛应用和重要作用。

不等式的几何直观为解题提供思路和方法，帮助学生深刻理解、记忆代数公式的有效途径，是证明不等式的简捷方法。

一、绝对值不等式：

图1

二、“浓度”不等式：

图2

三、均值不等式

图3

图4

图5

四、调和不等式

即调和中项≤几何中项≤算数中项≤均方根

图6

图7

五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

图8

通过以上一些重要不等式的几何直观，我们一定惊叹于数与形结合的美感。这些重要的代数公式，都是通过一些浅显的几何事实得到的。这种数与形的转化思想是值得我们在数学教学中重视和学习的。几何直观体现了数形结合的一方面，而数学教学和学习的过程都不能只侧重某一方面，要培养学生尝试且熟练将数与形结合起来，既要会“以形助数”，又要会“以数解形”。

在实际教学过程中，教师在讲授以上代数公式时，可以通过这些代数公式的几何直观来创设情境，引导学生从直观几何图形中发现相等或不等关系，进而得到代数等式或不等式，使学生通过几何直观对代数公式有初步认识，然后再进行严格的逻辑推理证明加深认识，促进学生抽象思维的进一步发展，同时培养学生数学逻辑的严密性。直观与逻辑对我们来说缺一不可，但从发现真理培养意识与思维能力的角度看，直观是第一位的。所以在讲授这些代数公式的过程中，它们的几何意义必不可少。

总之，几何直观可以以形象思维来弥补抽象思维的欠缺，可以有效地培养学生抽象思维和形象思维的协调能力，进而促进抽象思维的发展，最终达到理性思维的锻炼和发展。几何直观会给学生解题带来方便，可以培养学生自信心，增强学生数学学习的兴趣。可见几何直观在数学学习与研究中是非常重要的，在教学过程中教师要时刻有意地渗透这种思想，加强学生的应用意识，使学生的数学素养得到提升。

［1］E.贝肯巴赫，R.贝尔曼.不等式入门［M］.北京大学出版社，1985.

［2］方初宝，陈兆礼，李叶明.数学猜想法浅谈［M］.科学技术文献出版社重庆分社，1988.

［3］余红兵，严镇军.构造法解题［M］.中国科学技术大学出版社，1992.

［4］张奠宙，张广祥.中学代数研究［M］.高等教育出版社，2006.