方燕

(上海海事大学 文理学院， 上海 201306)



迹逼近C*-代数的可除和比较性质

方燕

(上海海事大学 文理学院， 上海 201306)

考虑一类有单位元的C*-代数(记为Ω)具有某种性质时，Ω中C*-代数迹逼近后得到的一类C*-代数(记为TAΩ)是否也具有这种性质.得出结论：若对∀B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-n几乎可除性质，则对∀A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-n几乎可除性质；若对∀B∈Ω，B具有强的迹m-投影比较性质，则对∀A∈TAΩ，A具有强的迹m-投影比较性质.

C*-代数； 迹逼近；K-半群

0 引 言

用K-群作为不变量对顺从的C*-代数进行分类，最先是由ELLIOTT[1]提出的.之后发现许多类C*-代数都可以用K-群进行分类.[2-4]研究者们逐渐发现迹态空间及其与K-群的配对也是C*-代数的分类必要不变量.比较重要的一类C*-代数是单的维数缓慢增长的AH-代数[5-6]，可以用迹态空间与K-群的配对分类，通常称此不变量为ELLIOTT不变量.LIN[7]给出单的维数缓慢增长的AH-代数的公理化定义，称之为迹逼近区间C*-代数.受此启发,ELLIOTT等考虑一般的迹逼近C*-代数的概念.一个有单位元的C*-代数A∈TAΩ，是指对∀ε>0，任意的有限子集F⊆A，任意的非零正元b，存在一个非零投影p∈A和C*-子代数B⊆A,使得1B=p和B∈Ω，且有：(1)对∀x∈F，‖xp-px‖<ε； (2)对∀x∈F，pxp∈εB；(3)[1-p]≤[b].

考虑Ω类中C*-代数具有某种性质，TAΩ类中的C*-代数是否也具有这种性质，是一个重要且有意义的事情.事实上ELLIOTT等[8]，FAN[9]和范庆斋等[10]都证明Ω类中C*-代数的许多分类性质可以遗传到TAΩ类中，且用它来证明C*-代数的分类定理.

本文证明： 如果Ω是一类C*-代数并且对∀B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-n几乎可除性质，则对于任意的C*-代数A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-n几乎可除性质.设Ω是一类C*-代数，且对∀B∈Ω，B具有强的迹m-投影比较性质，则对∀A∈TAΩ，A具有强的迹m-投影性质.

1 预备知识

定义1.1[8]一个有单位元的C*-代数A∈TAΩ，是指对∀ε>0，任意的有限子集F⊆A，任意的非零正元b，存在一个非零投影p∈A和C*-子代数B⊆A,使得1B=p和B∈Ω，且有：

(1)对∀x∈F，‖xp-px‖<ε;

(2)对∀x∈F，pxp∈εB;

(3)[1-p]≤[b].

定义1.3[4,11]A是一个有单位元的C*-代数，称A具有m-几乎可除性质.若proj(M∞(A))表示M∞(A)中投影的全体，对∀p∈proj(M∞(A)),存在q∈proj(M∞(A))满足kq≤p≤(k+1)(m+1)q.

2 主要结果

定理2.1 设Ω是一类C*-代数，且对∀B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-k几乎可除性质，则对于任意的C*-代数A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-k几乎可除性质.

(1)‖pr-rp‖<ε;

(2)rpr∈εB.

由(1)和(2)存在投影p1∈B和p2∈(1-r)A·(1-r)满足‖p-p1-p2‖<ε，得[p]=[p1]+[p2].因为p1∈B且B∈Ω，所以存在q1∈B满足kq1≤p1≤(k+1)(m+1)q1.对于p2∈(1-r)A(1-r)，因为(1-r)A(1-r)∈TAΩ，所以存在投影s和一个C*-子代数C满足C∈Ω，1C=S，使得

(1)‖p2s-sp2‖<ε；

(2)sp2s∈εC；

(3)[1-r-s]≤2[q1].

由(1)和(2)存在投影p3∈C和p4∈(1-r-s)A(1-r-s)满足‖p2-p3-p4‖<ε，得[p2]=[p3]+[p4].因为p3∈C且C∈Ω，所以存在q3∈C满足kq3≤p3≤(k+1)(m+1)q3.因为[p4]≤[1-r-s]≤[q1]，所以

[q]=[q1]+[q2]=[q1]+[q3]+[q4]

[p]=[p1]+[p2]=[p1]+[p3]+[p4]

且

k[p]=k([p1]+[p2])=k([p1]+[p3]+[p4])≤[q1]+[q3]+k[q4]≤[q1]+[q3]+ [1-r-s]≤[q1]+[q3]+[q1]≤(k+1)· (m+1)[p1]+(k+1)(m+1)[p3]+[q1]

证明下面定理的方法和技巧来自文献[8]中的定理3.7.2.

定理2.2 设Ω是一类C*-代数,且对∀B∈Ω，B具有强的迹m-投影比较性质，则对∀A∈TAΩ，A具有强的迹m-投影性质.

(1)对∀x∈F,‖rnx-xrn‖<ε；

(2)rnxrn∈Bn；

(3)[1-rn]≤[e].

‖p-p′-p″‖∈εn

[1]ELLIOTT G A. On the classification of the inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras[J]. J Algeb, 1976, 38: 29-44.

[2]LIN H. The tracial topological rank ofC*-algebras[J]. Proc London Math Soc, 2001, 83: 199-234.

[3]NIU Z. A classification of certain tracially approximately subhomogeneousC*-algebras[D]. Canada: University of Toronto, 2005.

[4]WINTER W. Nuclear dimension and Z-stability of pureC*-algebras[J]. Invent Math, 2012, 187: 259-342.

[5]ELLIOTT G A, GONG G. On the classification ofC*-algebras of real rank zero II[J]. Ann Math, 1996, 144: 497-610.

[6]ELLIOTT G A. On the classification ofC*-algebras of real rank zero[J]. J Reine Angew Math, 1993, 443: 179-219.

[7]LIN H. An introduction to the classification of amenableC*-algebras[M]. New Jersey: World Scientific, 2001.

[8]ELLIOTT G A, NIU Z. On tracial approximation[J]. J Func Anal, 2008, 254: 396-440.

[9]FAN Q.K0-monoid properties preserved by tracial approximation[J]. J Operator Theory, 2013, 69: 101-109.

[10]范庆斋, 杨君. 迹逼近C*-代数的遗传性[J]. 上海海事大学学报, 2011, 32(2): 91-94.

[11]BLAKADAR B.K-theory for operator algebra[M]. New York: Springer-Verlag, 1986.

(编辑 贾裙平)

Division and comparison properties of tracial approximationC*-algebras

FANG Yan

(College of Arts & Sciences, Shanghai Maritime Univ., Shanghai 201306, China)

It is discussed that, if a class ofC*-algebras (denoted byΩ) with an identity element has a property, whether the class ofC*-algebras (denoted byTAΩ) that be tracially approximated byC*-algebras inΩhas the property. It is concluded that, if the projective semigroup ofB,V(B), has anm-nalmost divisible property for anyB∈Ω, the projective semigroup ofA,V(A), has anm+1-nalmost divisible property for anyA∈TAΩ; ifBhas a strong tracialm-comparison projection property for anyB∈Ω,Ahas also the property for anyA∈TAΩ.

C*-algebra; tracial approximation;K-semigroup

10.13340/j.jsmu.2015.03.017

1672-9498(2015)03-0100-03

2014-07-01

2015-03-17

上海市教育委员会科研创新项目(13YZ090)

方燕(1961—)，女，云南昆明人，副教授，硕士，研究方向为泛函分析，(E-mail)yanfang@shmtu.edu.cn

O177.5

A