姜 曼

(西安交通工程学院 数学教研室，陕西 西安 710000)

文献[1]给出了一种新的(2,2,0)代数(S，*,Δ，0)，并称其为N(2,2,0)代数. 文献[2]给出了N(2,2,0)代数子代数的概念，对于N(2,2,0)代数结构的研究，更多结论可参见文献[3-6]. 自1965年Zadeh提出了模糊集[7]后，模糊集理论被广泛应用于各个领域. 经过不断的发展和研究，模糊集在理论和应用两方面取得了很大的进展. 文献[8-10]将N(2,2,0)代数与模糊集相结合，研究了N(2,2,0)代数上不同类型的模糊子代数及相关性质. 2010年，Torra提出了犹豫模糊集[2]概念，犹豫模糊数比传统模糊元更全面，在多个数学模型中都有应用. 关于犹豫模糊集和代数系统的研究，可参见文献[11-14].论文把犹豫模糊集与N(2,2,0)相结合，提出了N(2,2,0)代数的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数的概念，得到了若干个等价刻画，讨论了同态映射下N(2,2,0)代数的反犹豫模糊子代数的像与原像之间的关系，给出了犹豫模糊集下的反直积定义，研究了犹豫模糊反直积的相关性质，相关结果进一步完善了模糊代数和N(2,2,0)代数的理论研究.

1 预备知识

定义1[1]设S是有0元素的集合. 在S中定义两个二元运算*和Δ，若它们满足下列公理，即对∀x,y,z∈S，都有：

(1)x*(y*z)=z*(x*y)；

(2) (xΔy)*z=y*(x*z)；

(3) 0*x=x.

则称(S，*,Δ，0)是一个N(2,2,0)代数，简称S是一个N(2,2,0)代数.

论文约定S表示N(2,2,0)代数(S，*,Δ，0).

定义2[2]设Q是S的子集，若对∀x,y,z∈S，都有：①0∈Q；②由∀x,y∈S，可推出x*y∈Q,yΔx∈Q. 则称Q是S上的一个子代数.

引理[2]Q是S上的一个子代数当且仅当0∈Q且∀x,y∈S，x*y∈Q.

定义3[7]设A∈F(K)是一个非空经典集合，一个A∈F(K)上的犹豫模糊集A定义如下

A:{(x,hA(x))|x∈X}，

其中：hA(x)是由区间[0,1]上若干个不同值构成的集合,表示A∈F(K)中的元素x属于集合A的若干种可能隶属度.

设A为A∈F(K)中的犹豫模糊集，P([0,1])为区间[0,1]的幂集. 称集合

K(A,γ):={x∈K|γ⊆hA(x)}

为A的犹豫水平集,其中：γ∈P([0,1]).

定义4[7]设X是一个非空经典集合，F和G是X上的犹豫模糊集，且具有如下形式

F:{(x,hF(x))|x∈X}，G:{(x,hG(x))|x∈X}.

规定如下运算：

(1) 对于F，它的补元Fc定义为

补运算满足对合律，即(Fc)c=F.

(2)F和G的并F∪G定义为

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}.

(3)F和G的交F∩G定义为

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF(x),hG(x))}.

定义5[14](反扩张原理) 设X,Y是两个集合，f：X→Y是一个映射.A和B是两个分别定义在X,Y的犹豫模糊子集.x∈X,∀y∈Y，定义Y的犹豫模糊子集f(A)为

∀x∈X，定义X的犹豫模糊子集f-1(y)为hf-1(B)(x)=hB(f(x)).

2 N(2,2,0)代数的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数

定义6设A是S上的犹豫模糊子集，若∀x,y∈S,0≤λ<μ≤1,有：

(1)hA(0)∩μ⊆hA(x)∪λ；

(2)hA(x*y)∩μ⊆hA(x)∪hA(y)∪λ；

(3)hA(xΔy)∩μ⊆hA(x)∪hA(y)∪λ.

则称A是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

注意到N(2,2,0)代数满足x*y=yΔx，从而定义6中的(2)和(3)等价. 故S上的犹豫模糊集A是(λ,μ)-反犹豫模糊子代数的充要条件是(1)和(2)成立，或者(1)和(3)成立.

定理1给出了N(2,2,0)代数的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数与子代数的关系.

定理1设A是S的一个非空犹豫模糊子集，则A是S的(λ,μ)反犹豫模糊子代数，如果∀ε∈[λ,μ)，L(A;ε)：={hA(x)⊆ε|x∈L}(≠∅)，则L(A;ε)是S的子代数.

证明∀ε∈[λ,μ)，因为L(A;ε)：={hA(x)⊆ε|x∈S}非空，所以存在x0∈L(A;ε)，从而有hA(x0)⊆ε. 因为A是S的(λ,μ)反犹豫模糊子代数，从而∀x∈S,有hA(0)∩μ⊆hA(x)∪λ，因此有hA(0)∩μ⊆hA(x0)∪λ⊆ε∪λ=ε，又由于λ≤ε<μ，所以hA(0)⊆ε，即0∈L(A;ε). 另外，如果x∈L(A;ε)，y∈L(A;ε)，则hA(x)⊆ε，hA(y)⊆ε，且hA(x*y)∩μ⊆hA(x)∪hA(x)∪λ⊆ε∪ε∪λ=ε，这表明hA(x*y)⊆ε，即x*y∈L(A;ε). 故L(A;ε)是S的子代数.

定理2设A是S的一个非空犹豫模糊子集，如果∀ε∈[λ,μ)，L(A;ε)：={hA(x)⊆ε|x∈S}非空，且L(A;ε)是S的子代数，则A是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

证明假定存在x0∈S，使得hA(0)∩μ⊃hA(x0)∪λ，取ε=hA(x0)∪λ，则hA(x0)⊆ε，并且hA(0)⊃ε，λ≤ε<μ. 因为L(A;ε)：={hA(x)⊆ε|x∈S}非空，且L(A;ε)是S的子代数，从而0∈L(A;ε)，即hA(0)⊆ε与hA(0)⊃ε矛盾，因此对∀x∈S,有hA(0)∩μ⊆hA(x)∪λ.

假定x0,y0∈S，有hA(x0*y0)∩μ⊆hA(x0)∪hA(y0)∪λ成立，令ε=hA(x0)∪hA(y0)∪λ，则有hA(x0)⊆ε，hA(y0)⊆ε，hA(x0*y0)∩μ⊃ε，因此hA(x0*y0)⊃ε. 由于x0,y0∈L(A;ε),且L(A;ε)是S的子代数，所以x0*y0∈L(A;ε), 这与hA(x0*y0)⊃ε矛盾. 因此对∀x,y∈S，有hA(x*y)∩μ⊆hA(x)∪hA(y)∪λ.

所以，根据定义6 可知A是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

定理4设A和B都是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，则A∪B也是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

证明因为A和B都是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，所以∀x,y∈S，0≤λ<μ≤1，那么有hA(0)∩μ⊆hA(x)∪λ，hA(x*y)∩μ⊆hA(x)∪hA(y)∪λ；hB(0)∩μ⊆hB(x)∪λ,hB(x*y)∩μ⊆hB(x)∪hB(y)∪λ.

于是hA∪B(x)∪λ=hA(x)∪hB(x)∪λ=(hA(x)∪λ)∪(hB(x)∪λ)⊇(hA(0)∩μ)∪(hB(0)∩μ)=(hA(0)∪hB(0))∩μ=hA∪B(0)∩μ，hA∪B(x*y)∩μ=hA(x*y)∪hB(x*y)∩μ=(hA(x*y)∩μ)∪(hB(x*y)∩μ)⊆(hA(x)∪hA(y)∪λ)∪(hB(x)∪hB(y)∪λ)=(hA(x)∪hB(x))∪(hA(y)∪hB(y))∪λ=hA∪B(x)∪hA∪B(y)∪λ.

因此A∪B也是S的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

定理5设S1和S1是两个N(2,2,0)代数，f:S1→S2为同态映射且f(0)=0.B是S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数,则f-1(B)是S1的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

证明∀x1,y1∈S1，因为f:S1→S2为同态映射，且B是S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数,所以hf-1(B)(x1*y1)∩μ=hB(f(x1*y2))∩μ=hB(f(x1)*f(y1))∩μ⊆hB(f(x1))∪hB(f(y1))∪λ=hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(y1)∪λ.

又因为x∈S1，B是S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，因此有hf-1(B)(0)∩μ=hB(f(0))∩μ⊆hB(f(x))∪λ=hf-1(B)(x)∪λ,故f-1(B)是S1的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

定理6设S1和S1是两个N(2,2,0)代数，f:S1→S2为同态映射且f(0)=0,A是S1的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，则f(A)是S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.

定义7设A,B分别是非空集合S1,S2的犹豫模糊子集，对∀(x,y)∈S1×S2，定义映射A⊗B:S1×S2→P([0,1])，其中hA⊗B(x,y)=hA(x)∪hB(y)，则A⊗B是S1×S2的犹豫模糊子集，并称A⊗B为A和B的反直积.

定理7如果A和B分别是N(2,2,0)代数S1和S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，则A⊗B也是N(2,2,0)代数S1×S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数. 其中规定∀(x1,y1)∈S1×S2，则(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2,y1*y2)，(x1,y1)Δ(x2,y2)=(x1Δx2,y1Δy2).

证明∀(x,y)∈S1×S2，因为A和B分别是S1和S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，有hA⊗B(0,0)∩μ=(hA(0)∪hB(0))∩μ=(hA(0)∩μ)∪(hB(0)∩μ)⊆(hA(x)∪λ)∪(hB(y)∪λ)=(hA(x)∪hB(y))∪λ=hA⊗B(x,y)∪λ.

对∀(x1,y1)，(x2,y2)∈S1×S2，由于A和B分别是N(2,2,0)代数S1和S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数，因此有hA(x1*x2)∩μ⊆hA(x1)∪hA(x2)∪λ，hB(y1*y2)∩μ⊆hB(y1)∪hB(y2)∪λ，hA⊗B((x1,y1)*(x2,y2))∩μ=hA⊗B(x1*x2,y1*y2)∩μ=(hA(x1*x2)∪hB(y1*y2))∩μ=(hA(x1*x2)∩μ)∪(hB(y1*y2)∩μ)⊆(hA(x1)∪hA(x2)∪λ)∪(hB(y1)∪hB(y2)∪λ)=hA⊗B(x1,y1)∪hA⊗B(x2,y2)∪λ.

所以A⊗B是S1×S2的(λ,μ)-反犹豫模糊子代数.