张权，张金珠，韩旸，李艳君

（1.齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔 161006；2.北京理工大学数学与统计学院，北京 100081；3.河北工业大学机械工程学院，天津 300401）

Phase-type分布在随机退化模型中的应用

张权1,2，张金珠3，韩旸1，李艳君1

（1.齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔 161006；2.北京理工大学数学与统计学院，北京 100081；3.河北工业大学机械工程学院，天津 300401）

Phase-type分布是一类应用广泛的分布，主要用在随机模型领域，例如：通讯、金融、排队论、可靠性和生存分析．本研究的目的在于针对随机退化模型，利用Phase-type分布的形式，建立了有限状态空间的马氏过程．同时假设维修时间和失效时间的分布是Phase-type分布，研究了几类特殊的具有两元件的随机退化模型，并给出各模型的Q矩阵及其他感兴趣的量．

Phase-type分布；串联系统；并联系统；冷储备系统，可靠性

Phase-type分布于1975年Neuts[1]引入，从此，PH分布就被广泛的应用在通讯、金融、生物统计、排队论、生存分析[2]、可靠性[3]等领域．PH分布之所以能应用的如此广泛，主要是因为他们构成了一类定义在非负实数空间的灵活的分布类．比如，在可靠性领域，当PH分布取代指数分布后，他们的公式表示仍然保持着马尔科夫结构，这对问题的研究很有利，1917年，Erlang[4]第一个用阶段法推广指数分布，Neuts[5]推广了Erlang的阶段法，通过定义一个PH随机变量，这个随机变量表示，在一个具有吸收态有限连续的马氏过程中，从某个状态出发直到吸收状态转移所花的时间，然后引入了PH分布．最近，关于PH分布的文献也很多[6-10]．现有的关于可靠性研究的大部分文章，所涉及的概率分布均假定是指数分布，这有一定的局限性，phase-type分布可以任意的近似其它分布，这就是研究本文的意义所在．特别是在原有的模型中，例如串联、并联、冷储备等常用的系统，均没有利用phase-type分布进行研究的．鉴于此，本文主要研究串联、并联、冷储备这几种特殊的系统．每个系统中的元件具有退化效应，通过模型给出各个系统的Q矩阵及主要指标．

1 基本定义

定义1一个具有状态空间1,,m+1的马尔科夫过程，它的转移率矩阵为

2 串联系统

众所周知，在马尔科夫可修系统下，矩阵与初始向量给出后，其他各项指标均能如愿获得，见文献[11]．

3 并联系统

4 冷储备系统

系统由2个不同元件和一个修理设备组成，第i（i=1,2）个元件的寿命Xi的分布为PHi,T i，序为mi，故障后的修理时间Yi的分布为PHi,S i，序为ni．若2个元件都正常工作，则一个部件工作，另一个部件作冷储备，工作部件发生故障时，储备部件立即替换而转为工作状态，修理设备立即对故障部件进行修理，当修理设备正在修理某个故障部件时，另一个故障部件必须等待修理，修理好的部件或进入储备状态或立即进入工作状态，这个模型可作为具有m1+m2+m1n2+n1m2+n1+n2个状态的马氏过程来研究，状态空间可被分为6个状态集，状态集表示为0，1，2，3，4，5．

状态集0：元件1正常工作，元件2储备，状态集用单点集i来表示，1im1．

状态集1：元件2正常工作，元件1储备，状态集用单点集j来表示，1jm2．

状态集2：元件1工作，元件2修理，状态集用数对i,j来表示，其中：1im1，1jn2．

状态集3：元件2工作，元件1修理，状态集用数对i,j来表示，其中：1in1，1jm2．

状态集4：元件1修理，元件2待修，状态集用单点i来表示，1in1．

状态集5：元件2修理，元件1待修，状态集用单点j来表示，1jn2．

同理，给定Q矩阵冷储备系统的各项指标也能求得．

5 数值算例

5.1 从Q矩阵出发，求系统可靠性的稳态指标和平均指标

5.2 系统首次故障前的平均时间（MTTFF）

若令状态3和4为吸收态，得Q的子矩阵

5.3 系统的可靠性（详见文献[11]）

5.4 数值例子

6 结论

本文利用Phase-type分布的形式，构建了马尔科夫模型，并针对串联系统、并联系统、冷储备系统模型，给出了各个系统随机退化模型的Q矩阵．然后，在马氏可修系统中，通过一个数值算例验证了本文的结论．

[1]Neuts MF．Probability distributions of phase type[J]．Liber Amicorum Prof Emeritus H Florin，Dept Math Univ Louvain，1975，66：173-206．

[2]FackrellM．Characterizationofmatrix-exponentialdistributions[D]．SouthAustrlia：SchoolofAppliedMathematics，UniversityofAdelaide，2003．

[3]Faddy M J．Compartmental models with phase-type esidence-time distributions[J]．Appl Stoch Models Data Anal，1990，6：121-127．

[4]ErlangAK．Solutionofsomeproblemsinthetheoryofprobabilitiesofsignificanceinautomatictelephoneexchanges[J]．PostOffElectrEng，1917，10：189-197．

[5]Neuts M F．Matrix-geometric solutions in stochastic models—An algorithm approach[M]．Baltimore：John Hopkins University Press，1981．

[6]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R，SegoviaMC．Shockandwear modelsunder policyNusingphase-type distributions[J]．AppliedMathematical Modelling，2009，33：543-554．

[7]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR，SegoviaM C．ReplacementpolicyinasystemundershocksfollowingaMarkovianarrival process[J]．Reliability Engineering and System Safety，2009，94：497-502．

[8]Montoro-Cazorla D，Pérez-OcónR．Twoshockand wear systems under repair standinga finite number of shocks[J]．EuropeanJournal Operational Research，2011，214：298-307．

[9]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R．Shock and wear degradating systems under three types of repair[J]．Applied Mathematics and Computation，2012，218：11727-37．

[10]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR．Ashockandwearsystemunder environmentalconditionssubjecttointernalfailuresrepairandreplacement[J]．Reliability Engineering and System Safety，2012，99：55-61．

[11]曹晋华，程侃．可靠性数学引论[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[责任编辑 杨屹]

The use of Phase-type distribution in stochastic degradation model

ZHANG Quan1,2，ZHANG Jinzhu3，HAN Yang1，LI Yanjun1

(1.Science College,Qiqihaer University,Heilongjiang Qiqihaer 161006,China;2.School of Mathematics and Statistics,Beijing InstituteofTechnology,Beijing100081,China;3.SchoolofMechanicalEngineering,Hebei UniversityofTechnology,Tianjin300401, China)

Phase-type distributions have a wide application and have been mainly used in various areas of stochastic modeling such as telecommunications,finance,queueing theory,reliability and survival analysis,etc.This research is to utilize the formalismof Phase-type distributions,constructfinite state Markov processes for stochastic degradation model. Assuming that the time-to-failure and repair time distributions are of Phase type,several classes of special stochastic degradation models with two components are studied,and Q matrixes of all models and quantities of interest are given.

Phase-type distribution;series system;parallel system;cold standby redundancy system;reliability

O 213；O211.62

A

1007-2373(2015)04-0038-04

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.04.008

2014-03-16

国家科技支撑计划（2013BAK12B0803）；黑龙江省教育厅项目（12541900）

张权（1978-），男（汉族），讲师，博士生，zhangquan122400@163.com．