王其申，陈 健，何 敏

(1.安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133； 2.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

一类非线性斯图谟—刘维尔问题正解的存在性

王其申1，陈 健2，何 敏1

(1.安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133； 2.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

本文讨论了非线性斯图谟-刘维尔方程[p(x)u′(x)]′+f[u(x)]=0在两端固定边条件下的边值问题，当p(x) 是区间[0,1]上的分段线性函数时，其正解存在。

非线性斯图谟-刘维尔边值问题；分段线性函数；正解；存在性

关于非线性斯图谟-刘维尔方程的边值问题，它的正解的存在性有着重要的理论意义和应用价值。此问题的研究始于L. H．Erbe[1]，其后，国内外学者就此课题开展了广泛而深入的研究[2-4]，其中，郭大钧[4]深入研究了以下边值问题

(1)

当p(x)∈C1[a,b],p(x)>0时正解或多解的存在性。该论著有力推动了国内这一研究领域的进展[5-7]。已有文献都是在p(x)一阶连续导数存在的前提下讨论的，而对工程实际中出现的非线性斯图谟-刘维尔边值问题，常会遇到p(x)或p′(x)具有某种间断性的情况，因此需要讨论p(x)的一阶导数不存在时方程(1)的非线性边值问题正解的存在性。陈健等人[8]讨论了当p(x)是分段常数情况下非线性斯图谟-刘维尔方程第一边值问题正解的存在性，得出了肯定的结论。本文主要讨论当p(x)是分段线性函数时，下列非线性斯图谟-刘维尔方程边值问题正解的存在性：

(2)

其中f∈C(R+,R+),f(0)=0,

不失一般性，可设常数c满足01/2时下文的讨论没有实质的不同)，a1与a2可正可负，而a1x+p1>0 (0≤x≤c),a2x+p2>0(c≤x≤1)。

1 预备知识

1.1 边值问题的格林函数

仿照文献[4]，采用通解组合法，可以解出边值问题(2)所对应的齐次方程的Green函数是：

当0

(3.1)

而当c≤s<1时,

(3.2)

其中，

(4)

引理1 设Gij(x,s)(i=1,2;j=1,2,3)为齐次问题(2)的形如式(3.1)和(3.2)的Green函数，则

(i)Gij(x,s)>0,∀(x,s)∈(0,1)×(0,1)；(ii)G11(x,x)=G12(x,x)，G22(x,x)=G23(x,x)；

(iv)Gij(x,s)≥μGi(s,s) ，其中，0<ε

证明 因为a1x+p1>0(0≤x≤c),a2x+p2>0(c≤x≤1)和ω<0，性质(i)成立，性质(ii)可直接被检验，因此只要证明(iii)和(iv)。

同理有G2j(x,s)≤G2(s,s) (j=1,2,3)，即(iii)成立。

(iv) 当0<ε

同理

因为c+ε≤1-c+ε，当c-ε≤x≤c+ε时性质(iv)亦成立。

1.2 非线性S-L边值问题的积分形式解

考察下列边值问题

(5)

引理2 若u(x)表示为

(6)

则u(x)是边值问题(5)的解，即u(x)满足方程(5)且u(x)∈C2[0,1]。

证明 把(6)式两边对x求一次导，利用引理1的性质(ii)以及Green函数的连续性，得

1.3 范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理

(H1) ‖Au‖≤‖u‖， ∀x∈P∩∂Ω1； ‖Au‖≥‖u‖， ∀x∈P∩∂Ω2。

(H2)‖Au‖≤‖u‖， ∀x∈P∩∂Ω2； ‖Au‖≥‖u‖， ∀x∈P∩∂Ω1。

那么，A在P∩(Ω2Ω1)中必具有不动点。

2 主要结果

在这些条件下，必有正函数u(x)∈C2[0,1]满足边值问题(5)。

证明 引理2表明，边值问题(5)属于C2[0,1]的解和方程

(7)

当Green函数的表达式由(3.1)式和(3.2)式给出时属于C[0,1]的解等价。设P*={u(x)|u(x)∈C[0,1],u(x)≥0}，对于0<ε

(8)

不难检验P*与Pε*都是空间E=C[0,1]中的锥，同时A：P*→P*全连续。令u(x)∈P*，由引理1的性质(iii) 和引理2可以推出

∫0cG1(s,s)f[u(s)]ds+∫c1G2(s,s)f[u(s)]ds

(9)

再由引理1的性质(iv)，有

μ{∫0cG1(s,s)f[u(s)]ds+∫c1G2(s,s)f[u(s)]ds}

(10)

A(Pε*)⊂Pε*,0<ε

(11)

利用f(0)=0以及定理1的条件(ii)，可知∃r>0，使得当0

∀x∈(0,1)

进而就有

‖Au‖≤‖u‖,∀u(x)∈P*,‖u‖=r

(12)

另一方面，定理1的条件(iii)表明，∃η>0 ，使当u≥η时，f(u)≥u/M恒成立。设

Rε=max{2r,η/μ}

(13)

(14)

因为F′(ε)=μ′(ε)h(ε)+μ(ε)h′(ε)，所以当ε→0时F′(ε)>0，而当ε→c时F′(ε)<0。可见，∃ε0∈(0,1)，使F′(ε0)=0，从而F(ε)在ε=ε0时达到其最大值。记该最大值为M=F(ε0)。于是在(14)式中，取ε=ε0得

(15)

由Gi(x,s)的性质，显然有u(x)>0，∀x∈(0,1)，定理得证。

3 小结

以上讨论表明，对于非线性S-L方程的第一边值问题，当其系数p(x)为分段线性函数时，其正解是存在的。

[1]L. H．Erbe，H．Wang．On the existence of positive solutions of ordinary differential equations [J]．Proc．killer．Math．Soc., 1994, 120(8): 743-748.

[2] D. O. Regan．Theory of Singular Boundary Value Problems[M]．Minnesota: Scientific World, 1994.

[3] 姚庆六. Sturm-Liouville边值问题的正解存在性[J]. 数学物理学报, 2002, A(2): 145-149.

[4] 郭大钧, 孙经先, 刘兆理. 非线性常微分方程泛函方法[M].济南: 山东科学技术出版社, 2005.

[5] 李高尚, 刘锡平, 贾梅, 等. 一类微分方程组的非齐次Sturm-Liouville边值问题解的存在性[J]. 应用泛函分析学报, 2009, 11(1): 79-85.

[6] 孙经先, 张国伟. 奇异非线性Sturm-Liouville问题的正解[J]. 数学学报, 2005, 48(6): 1095-1104.

[7] 侯丽芳, 李宇华. 二阶Sturm-Liouville边值问题解的存在性[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2009, 32(2): 168-171.

[8] 陈健, 沈娟, 王其申. 一类非线性斯图谟-刘维尔方程两点边值问题解的存在性[J]. 应用数学学报, 2013, 36(2): 298-305.

Existence of Positive Solutions for a Class of Nonlinear Sturm-Liouville Boundary Value Problems

WANG Qi-shen, CHEN Jian, HE Min

(1.School of Physical and Electrical Engineering, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China; 2.School of Mathematics and Computation Science,Anqing Teachers College,Anqing 246133,China)

In this paper，the existence of positive solutions for the first boundary value problems of the nonlinear Sturm-Liouville equation [p(x)u′(x)]′+f[u(x)]=0 is discussed, wherep(x) is a segmentation linear function in interval [0, 1].

nonlinear Sturm-Liouville boundary value problems, segmentation linear functions, positive solutions, existence

2015-04-14

王其申，男，安徽桐城人，安庆师范学院物理与电气工程学院教授，主要从事结构动力学和应用数学领域的研究。

时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.001.html

O32

A

1007-4260(2015)04-0001-06

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.001