☉北京市丰台区第二中学 孙泰 郑新春

法出自然，思揭本源
——2014年北京市高考第19题赏析

☉北京市丰台区第二中学 孙泰 郑新春

2014年高考北京试卷理科第19题，保持了北京卷简捷、优美的一贯风格，读罢研磨，发现该题入口平实、思路宽泛、底蕴深厚，紧扣解析几何的思想精髓，堪称精品之作.赏析第（Ⅱ）问的解法，探寻一般结论，进而类比推广，无疑对激发学习兴趣、提升解题能力、丰厚解析几何教学资源大有裨益.

一、原题呈现

题目已知椭圆C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

二、解法研究

解析几何较欧氏几何，最大的优势是把“运动变化引进了数学”，使我们实现了“用点的坐标刻画运动”这一基本代数手段研究几何问题的设想.而本题的解决过程淋漓尽致地展示了这一优势.

观察第（Ⅱ）问，如图1，直线AB是一条动直线，研究该动直线与圆x2+y2=2的位置关系，实则判断原点到直线AB的距离与√2的大小，而原点到直线的距离可由“点到直线的距离公式”或“等面积法”获得，这是解决问题的基本思路.在我们追溯直线AB因何而动的过程中，自然产生了三类解题策略，展现出多种平实之入口（仅以入口1为例，阐述完整的解题过程）.

图1

1.视点A为主动点

从题设看，点A在椭圆C上的运动是主动的，而点B是受条件“OA⊥OB”的制约，在直线y=2上被动地运动.所以，我们设参数刻画点A的运动，并用该参数表示点B的坐标，进而得到直线AB的方程……