张文武,刘庆华

(桂林电子科技大学信息与通信学院,广西桂林 541004)

稀疏贝叶斯假设检验准则下的二维波达方向估计

张文武,刘庆华

(桂林电子科技大学信息与通信学院,广西桂林 541004)

为了降低均匀圆阵列二维波达方向估计的计算量,提出一种基于稀疏贝叶斯假设检验的波达方向估计算法。根据“粗扫描”+“细扫描”思想,将角度空间重新构建新的冗余字典,运用贪婪类算法粗略构造新的稀疏重构模型,结合稀疏贝叶斯假设检验准则,快速求解超参数,实现二维波达角的估计。实验结果表明,该算法具有较高的估计精度以及较好的检测性能。

二维波达方向估计;稀疏贝叶斯假设检验准则;超参数

波达方向(direction-of-arrival,简称DOA)估计是阵列信号处理的一个研究热点,在雷达、通信和声纳等众多领域有着广泛的应用。相比于传统的均匀线阵列(ULA),均匀圆阵列(UCA)不但可实现方位角360°覆盖,也能够正确估计输入信号的俯仰角[1-2],因此,研究基于UCA的二维DOA估计算法具有实际意义。近年来,基于空间谱稀疏分布的特点,学者提出了大量的稀疏DOA估计方法,主要分为两类:1)基于范数的稀疏DOA估计算法,如LISVD[3]和基于加权迭代的稀疏重构FOCUSS[4-5]算法等,当它们应用于二维DOA估计时,均存在计算量爆炸性增长的缺点;2)匹配追踪算法,如正交匹配追踪(OMP)[6-7]和稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)[8-9],这类算法的输出索引含有过多的冗余,从而影响角度估计的精度。

针对均匀圆阵列的二维DOA估计计算量大的缺点,提出稀疏贝叶斯假设检验的算法。该算法采用匹配追踪算法对接收信号进行“粗扫描”,得到降维的初级支撑集,并依此构造新的稀疏重构模型;利用稀疏贝叶斯假设检验进行二次“细扫描”,通过求解超参数获得输入信号波达角信息。实验结果表明,在相同的实验条件下,本算法能有效地剔除冗余基下标,降低计算量,并保持良好的估计精度和检测概率性能。

1 空间圆阵列窄带信号模型

假设有K个远场非相干窄带信号入射到均匀圆阵列(UCA)上,如图1所示。该圆阵列半径为r,阵元数为M,半径与入射信号波长的比值为dr=r/λ(λ为入射信号波长)。定义第k个来波信号的俯仰角和方位角为(θk,φk),k∈[1,K]。俯仰角θk为原点到信源的连线与Z轴正向之间的夹角,方位角φk是该连线在XOY平面上的投影与X轴正向之间的夹角,易知θk∈[0°,180°],φk∈[0°,360°]。方向矢量a(θk, φk)定义为

图1 空间圆阵列(UCA)模型Fig.1 Model of space uniform circular array

则阵列接收数据模型可表示为

其中:Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yM(t)]T为观测矢量; s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T为信源信号矢量; A(θ,φ)=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θK,φK)]为导向流型矩阵;n(t)表示与输入信号不相关的高斯白噪声;t∈[1,T],T为总快拍数。

由于来波信号在空间具有位置稀疏性,可将式(2)表示为如下的稀疏模型,

在对式(3)进行求解的过程中,由于字典¯D(^θ, ^φ)中的原子个数大,且包含T个子模型,导致计算负担大。对此,文献[3]提出的L1-SVD方法采用奇异值分解,利用特征向量建立联合稀疏重构模型,这样处理虽然在一定程度上降低了计算量,但每步迭代的计算复杂度仍然达到O(K3(η×q)3)。计算量过大是阻碍稀疏分解算法应用到二维DOA估计的主要因素。

针对均匀圆阵列,采用“粗扫描+细扫描”的方法,对模型(3)进行分解和重组。通过粗扫描,舍弃冗余字典中的无效原子以减少原子数目,形成初级支撑集。利用贝叶斯假设检验模型[10-11],通过估计超参数,在初级支撑集中找到信源角度值。这种方法不仅可降低计算量,还可避免快拍数对估计过程的影响,同时无需信源数目的先验知识。

2 稀疏贝叶斯假设检验的二维DOA估计方法

2.1 稀疏模型构造——粗扫描

根据稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)算法[9],建立冗余字典集合。通过对输入冗余字典和采样向量Y(t)的匹配追踪,获得基于初始稀疏度K的输入信号近似值^s(t)和角度空间索引候选集Ch,且满足^s(t)=),其中,降维后的矩阵是包含所有信源位置信息的冗余字典,则初级空间角支撑集记为(k),(k)},k∈Ch。Ch的维数降为I,且I≫K。在获得)后,细扫描的稀疏模型表示为:

由此,DOA估计转化为对重构信号^s(t)中非零元素位置的估计。事实上,式(3)、(4)中的噪声均可假设为零均值方差为的高斯白噪声。根据其统计特性,由式(4)可得观测信号的条件概率为[12]:

式(5)可采用最大似然法,通过经验风险最小化求出^s(t),但易发生过学习的现象,导致空间分辨率不足。为了避免这种情况的出现,引入超参数求解该稀疏模型的参数。

2.2 稀疏模型的超参数

假设待重构的稀疏信号^s(t)满足N(0,α-1I)(I为单位矩阵)的复高斯分布模型,则采用超参数α= diag(,,…)控制其先验分布[12],即每一个信号入射角度均由一个超参数控制。若趋近于0,则说明对应位置的角度空间无入射信号;若不为0,则说明有入射信号。显然,入射信号的个数远小于离散角度总数,即超参数α中只有较少的非零值,从而表现出稀疏特性。这样,DOA估计转换为对超参数α中的非零元的求解。同理,噪声信号方差可视为控制噪声先验分布的超参数。

定义^s(t)的先验条件概率分布为:

其中:N(^si(t)|(0,))为零均值方差为的高斯密度函数;p为^s(t)中零值出现的概率。根据文献[14]中高斯噪声环境下的稀疏高斯信源零值出现的概率大于0.5,有p＞0.5。

为了求得2个超参数的最大后验概率估计值,同样假设其他参数均为已知。由最大后验概率估计的定义式:

可得超参数的后验概率为:

α立,求导并置0后,得到超参数α的最大后验概率估计值

即超参数的最大后验概率是使得式(5)取最大值的情况,则对式(5)求导并取极值后,求得σ2n的最大后验概率估计值为

由于稀疏性约束,超参数α中仅有少部分元素为较小值,而大部分均趋于0,这样会给DOA估计带来不确定性。为了解决这一问题,构造一个基于零值概率p和超参数α和的后验概率分布的判别准则。根据此判别准则,进一步剔除冗余字典中与DOA信息无关的冗余原子索引,实现“细扫描”。

2.3 稀疏贝叶斯假设检验准则——细扫描

其中:Wl=〈Y(t),)〉,=(t);=〉。

根据式(13)构建如下假设检验事件:

由条件概率可知,若事件H1成立,则其后验概率为P(H1|Wl)＞P(H0|Wl),反之若H0成立,则其后验概率为P(H0|Wl)＞P(H1|Wl)。这样,判断是否为0(即超参数α中非零值的位置)问题转化为条件概率事件。由于信号源稀疏矢量中零值概率p已知,故可得(以事件H1为例,事件H0亦然)

又有p=P(H 0),显然,只需要求得P(Wl|H1)、P(Wl|H0)的大小即可。

若输入信号和噪声皆为高斯随机变量,其估计误差和线性运算显然均满足高斯分布。令ϖl=+(t)-(t)),有～N(0,),其中为超参数α和的线性组合。因此,式(14)可等价于

对式(15)两边同时取对数运算,有

其中Tdl是阈值参数,且满足:

由于p＞0.5,显然,式(17)的右边大于0。事实上,该阈值参数中涉及的参数均可用前面所得的先验概率值代替,综合式(7)、(10),可求得阈值参数。这样可将式(16)视为剔除冗余字典中无效原子索引的一个准则。对于贝叶斯假设检验模型的优化求解过程,实际上是一个添加或消除冗余字典中基向量并实时更新参数的过程。

2.4 SAMP算法步骤

基于稀疏贝叶斯假设检验的二维DOA估计算法的主要步骤归纳如下:

1)采用SAMP算法产生下标支撑集Ch,利用下标集在冗余字典中构建新的冗余字典,输出重构信号^s(t)。

3)根据集合ξ即可估计出各个入射信号的DOA。

需要说明的是,由于经过SAMP算法获得的初始重构信号比较接近真实的稀疏信号^s(t),角度空间不需再细化,直接构建下一步的冗余字典。阈值参数取值范围为0.8～1,对于SAMP算法的迭代停止参数取10-5量级的数值。

贝叶斯假设检验算法假定在平稳信号模型下进行参数估计[12],通常情况下使用窄带平稳信号的匹配追踪进行稀疏重构,均假定信源个数为已知,但在实际中很难准确确定目标个数,而改进后的SAMP算法可在未知信源个数情况下对冗余字典进行“粗扫描”,再利用贝叶斯高斯假设检验进行“细扫描”,实现输入信号的DOA精确估计,具有良好的性能。

3 仿真实验和分析

算法假定在平稳信号模型[13]下进行参数估计,并分别从估计精度、算法耗时、检测误差等方面考察本算法的性能。实验中,输入信号为服从高斯分布的远场窄带信号序列,噪声为加性高斯白噪声,与信源不相关。圆阵列结构为图1所示的UCA结构,其中阵元个数M=13,阵列半径r与输入信号波长λ之间满足r=5λ,且信号波长λ=1 m。信源数为2,来波信号入射角度为(24°,110°)和(70°,20°)。信噪比为RSN=10 log10(Psi/),Psi=E(t)]为信源的平均功率。

图2为本算法的DOA估计结果,其中信噪比RSN=10 dB,快拍数为64,角度分辨率取0.5°。2个估计角度分别为(24.5°,110.0°)和(69.5°,20.5°),估计值和真实值基本一致。

比较本算法与L1-SVD算法的计算量,其中快拍数为64,角度分辨率取1°,二维冗余字典长度为32 761。本算法耗时0.925 9 s,L1-SVD耗时为11.339 8 s。可见,采用“粗扫描”+“细扫描”的方法可大大减少计算时间,实时性大大提高。

选择均方根误差(RMSE)[15-16]考察本方法的估计性能。均方根误差定义为:

仿真结果如图3、4所示。图3为本算法在2种快拍数下的均方根误差曲线变化趋势,从图3可见,两者变化基本一致,并且受快拍数影响较小。图4为2种算法的均方根误差,从图4可见,本算法较L1-SVD具有更低的均方根误差。其原因是贪婪类算法通过递归地对已选择原子集合进行正交化以确保迭代达到最优,但该类算法最终是通过强制暂停迭代过程来调整重构稀疏性;基于范数约束是利用可分离的罚函数实现优化,但这些算法很难减小全局最小化误差,甚至无法达到全局最小化;而本算法是在迭代优化过程中自动剔除冗余向量基,从而调整重构稀疏性,无需设置用于平衡稀疏性和重构误差的正则化参数,所得优化结果即为全局最优解。

图2 DOA估计的结果Fig.2 DOA estimation results

图3 不同快拍数下均方根误差Fig.3 RMSE under different snapshot numbers

图4 2种算法的均方根误差Fig.4 RMSE of L1-SVD method and the proposed approach

4 结束语

采用SAMP算法对输入信号的DOA进行“粗扫描”,获得候选集,构建新的冗余字典,并以此构造稀疏贝叶斯假设检验模型来消除新冗余字典中的无效原子,选择有效的冗余原子。本算法不仅降低了运算量,同时避免了对矩阵求逆,加快收敛速度。仿真结果表明,在低信噪比、快拍数较小的条件下,本算法对于信号空间DOA的分辨率优于同类型的L1-SVD算法,具有较强的鲁棒性,并能不受正则化参数选择的约束。然而,本算法仅适合小快拍数情况,在快拍数比较大时仍然有一定的局限性。随着快拍数增加,算法的计算量也会很大,这是下一步研究改进的方向。

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编辑:梁王欢

2D direction-of-arrival estimation by sparse Bayesian hypothesis testing criterion

Zhang Wenwu,Liu Qinghua
(School of Information and Communication Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

In order to reduce the calculation cost on the circular array,a fast estimation method for 2D directions-of-arrival is proposed.The algorithm reconstructs the redundant dictionary based on the coarse scan and fine scan steps.It reconstructs the sparse model by the greedy algorithm.Then the sparse Bayesian hypothesis testing criterion is combined for solving the hyper parameters to get the impinge angels of sources.Experimental results show that this proposed algorithm is a kind of high estimation precision and detection performance algorithm.

2D direction-of-arrival estimation;sparse Bayesian hypothesis testing criterion;hyper parameter

TN911.7

A

1673-808X(2015)02-0110-06

2015-02-15

国家自然科学基金(61461012);广西无线宽带通信与信号处理重点实验室主任基金(GXKL0614106);桂林电子科技大学研究生创新计划(ZYC0815)

刘庆华(1974-),女,四川南江人,副教授,研究方向为自适应信号处理。E-mail:qhliu@guet.edu.cn

张文武,刘庆华.稀疏贝叶斯假设检验准则下的二维波达方向估计[J].桂林电子科技大学学报,2015,35(2):110-115.