罗中良，蓝 燕，陈治明

(惠州学院电子科学系，广东 惠州 516007)



一种频域谱均衡自调整迭代优化算法*

罗中良，蓝 燕，陈治明

(惠州学院电子科学系，广东 惠州 516007)

传统的频域自调整算法直接对频谱进行运算，不利于对信号的噪声分离。该文在频域采用对数功率谱表示保证了功率谱的正值特性且易于实现带遗忘因子平滑算法，并针对算法的收敛速度与收敛精度之间的矛盾，提出一种变遗忘因子的自调整算法，推导了算法的收敛条件，在此基础上设计了遗忘因子按响应谱取指数平均的自调整方法及相应的迭代算法。仿真验证了文中设计的优化谱均衡算法较传统的均衡算法时间上降低了近50%，稳态误差减小了约90%。

谱均衡；参数自调整；迭代优化算法

随机振动谱均衡的控制目的是使试件承受的振动功率谱与设定的参考功率谱一致，通过对功率谱的估计，利用均衡控制算法与参考谱进行比较迭代，最终使控制谱收敛到参考谱[1]。在随机振动中，由于不同控制对象的特性参数存在较大差别且系统参数不稳定的影响导致整个系统的动态特性发生改变。为了满足控制系统的大动态范围、高精度、均衡时间小等参数的要求，对谱估计及均衡算法提出了很高的要求[2-3]，业界也进行了相关的研究，如采用加权噪声功率谱估计算法，较好的分离后平滑了噪声[4-5]；引入分频率与变步长策略，提高迭代控制效率、降低迭代运算量[6]；采用并行化数据处理和振动环境谱编制方法，提高机载设备振动环境实测数据处理效率[7]；采用Kalman自适应滤波器实时跟踪控制对象阻抗特性，对系统的输入信号进行滤波修正，再实现参考谱复现方法等[8]，以及小波域的谱均衡算法[9-12]。这些算法改善了谱估计、谱均衡控制的精度，但算法的收敛性普遍缺乏定量的理论性分析，而是采用仿真加以验证。本文从谱均衡基本原理及传统自调整迭代算法出发，在频域对数功率谱形式上分析了遗忘因子对收敛速度和精度的影响，推导了算法收敛的依据，并在此基础上设计了遗忘因子按响应谱取指数平均的自调整方法及相应的迭代算法，满足收敛条件下得到了最速下降的遗忘因子，有效地解决了收敛速度与收敛精度的矛盾，为谱均衡的频域自调整迭代算法提供优化途径。

1 谱均衡自调整迭代算法

1.1 谱均衡控制原理

随机振动频谱均衡控制是相对于时域自适应控制器的频域实现，包括系统辨识和控制综合模块，其目的就是使振动系统在不同的负载及干扰下精确地重现设定的振动谱。对于传递函数为H(f)的振动系统，其激励X(f)与响应Y(f)的关系可表示为：

(1)

在随机振动控制中，只关心频域的幅值特性，故将上式变换为输入输出信号自功率谱函数的关系式，即

(2)

要使系统重现参考谱Prr(f)，即Pyy(f)=Prr(f)，则必须使激励信号的自功率谱Pxx(f)满足：

(3)

图1 振动谱均衡原理Fig.1 Principle of vibration spectrum equalization

1.2 频率响应功率谱估计方法

(4)

求得频率响应函数：

或

(5)

(6)

因此：

或

(7)

1.3 谱均衡迭代算法

(8)

(9)

对式(1)以归一化频率变换到离散域，并考虑系统噪声及测量误差n(t)时

(10)

式中Pnn,i(fk)是噪声n(t)的自谱密度的第i次计算值，由文献[10]可以得到：

(11)

(12)

(13)

式(11)-(13)的自调整迭代算法很难定量地分析其收敛性能，且无法直接利用2.1进行小波变换后的平滑算法。因此，下面研究频域自调整算法在对数坐标中的实现，并定量分析其收敛性能。

2 变遗忘因子的谱均衡优化迭代算法

2.1 对数域频域自调整算法及其收敛性

传统的频域自调整算法直接对频谱进行运算，不利于对信号的噪声分离，在频域采用对数功率谱一方面能保证功率谱的正值特性，另一方面更利于采用先进的算法对其平滑。令

相应地响应谱的指数平均变为

(14)

其对数坐标形式为

(15)

基于对数变换的频域自调整迭代算法表示为:

(16)

(17)

(18)

其中ei表示与xi、yi不相关的零均值噪声。综合式(16)-(18)可得

由于yi-1=(1-ρ)yi-2+ρpi-1，从上式可得：

(19)

其特征根为(1-ρ)±j[ρ(1-ρ)]1/2，幅值为(1-ρ)1/2，因此当0<ρ<1时式(16)-(18)表示的频域自调整迭代算法收敛于r。当系统收敛后

(20)

2.2 变遗忘因子的谱均衡优化迭代算法

从上分析知，ρ值的大小需要在算法的收敛速度与收敛精度之间折衷，设想当算法的运行初期时取较大的ρ值，以提高收敛速度；之后，减小ρ值以提高收敛精度。下面来研究ρi的变化规律，从而得到最优的系统性能。

以遗忘因子为对响应谱取指数平均得

(21)

其中ρi∈[0,1]，它随迭代次数的增加而减小。将

pi=xi+hi+ei

代入上式得

(22)

其中

(23)

在不考虑系统噪声时，使控制谱与参考谱相等并取hi的估计值，这样得到自调整算法迭代公式为

(24)

其中系统的频率响应函数由卡尔曼滤波器进行估计，其为

(25)

通过对费用函数E{(hi-h)2}最小化，其中h是系统频率响应函数的真值，得到的αi应满足:

(26)

此时有

(27)

上式说明了优化的频域自调整迭代算法非常好的一个特性，即当αi以式(26)规则选择时，系统响应谱的波动随遗忘因子ρi的减小而趋向于零。可得

(28)

如此不断的迭代，控制功率谱将收敛于参考功率谱。

2.3 迭代算法仿真

仿真取系统激励初值与系统响应初值为零，系统噪声取均值为零、方差为1的高斯噪声，设定参考谱r为10，系统的频率频响函数h取1，系统频率响应函数初值h0取0。图2是没有加入噪声时的基于对数变换频域自调整迭代算法仿真结果。

图2 基于对数变换的频域自调整算法仿真(未加入噪声) Fig.2 Simulation of adaptive regulation algorithm based on logarithmic transformation(un-noised)

图2较明显的表明随着ρ的减小暂态时间增长，系统的响应的调整速度变慢；而当系统加入噪声时，如图3所示。小的ρ值确提高了消除系统噪声的能力，但这是以系统的响应速度为代价的，两者是一个不可调和的矛盾；而对于优化的频域自调整迭代算法，有效地解决了这一对矛盾，其仿真结果如图4所示。从图4可以看到系统不仅具有快速的响应性能，而且具有较强的消除系统噪声的能力。比较图4(a)、(b)，可以看出当ρi的下降速率增大时，收敛速度和抗干扰能力均有提高，然而如果的下降速率大于1/i时，依据式(26)αi的取值必将发散，即随i值的增大而增大，这样将造成计算上的溢出，因此在保证算法可靠性的前提下的下降速率不应大于。上述结果可以表明优化的频谱均衡算法较传统的均衡算法的均衡时间降低了近50%，稳态误差减低了约90%，均衡结果较理想。

图3 基于对数变换的频域自调整算法仿真(加入噪声)Fig.3 Simulation of adaptive regulation algorithm based on logarithmic transformation(noised)

图4 优化的频域自调整算法仿真(加入噪声)Fig.4 Simulation of optimized adaptive regulation algorithm (noised)

3 结 论

采用对数功率谱保证了功率谱的正值特性，分析了遗忘因子ρ值对算法收敛速度与精度之间影响，提出均衡算法迭代初期应取较大值以提高收敛速度，后期应取较小值以提高算法的收敛精度。并基于此思想，设计了遗忘因子按响应谱取指数平均的自调整方法及相应的迭代算法，在算法的收敛速度与收敛精度之间取得较好的平衡。仿真结果表明优化的频谱均衡算法较传统的均衡算法的均衡时间降低了近50%，稳态误差减低了约90%。

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A Frequency Spectrum Equalization Self-Adjusting Iteration Algorithm

LUOZhongliang,LANYan,CHENZhiming

(Department of Electronic Science,Huizhou University, Huizhou 516007， China)

Traditional frequency self-adjusting algorithm calculates the frequency spectrum directly, which will affect the noise extraction of the signal.Logarithm power spectrum is used to guarantee the positive-value characteristic of the power spectrum, and make the smoothing algorithm with forgetting factor easier to implement.To solve the contradiction between convergence speed and convergence precision of the fixed forgetting factor, a self-adjusting method with varied forgetting factor is proposed. The convergence condition is also deduced. The iteration algorithm whose forgetting factor is the exponential mean value of the response spectrum is designed.Simulation results show that the proposed spectrum equalization algorithm reduces the calculation time by 50%, the steady-state error by 90%, comparing to un-optimized algorithm.

spectrum equalization; parameter self-adjusting; iterative optimization algorithm

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.007

2014-10-18

广东省科技计划资助项目(2012B010100038)；广东省高等学校教学质量与改革工程本科类资助项目(粤高教函【2013】113号-113)

罗中良(1968年生 )，男；研究方向：智能控制;通讯作者：陈治明;E-mail:1276106@qq.com

TP273.3

A

0529-6579(2015)05-0028-05