魏帅帅，李凯辉，刘汉泽

（聊城大学数学科学学院，山东聊城 252059）

G′／G展开法在Riccati方程中的应用

魏帅帅，李凯辉，刘汉泽

（聊城大学数学科学学院，山东聊城 252059）

通过齐次平衡原理和G′／G展开法对Riccati方程进行求解，得到了满足一定条件的Riccati方程的G′／G解。扩大了对Riccati方程的研究成果，扩展了G′／G展开法的应用。

齐次平衡原理；G′／G展开法；Riccati方程；精确解

0 引言

由于非线性变系数发展方程可以描述许多非均匀介质的物理现象，因此，这些方程的求解近年来得到了人们的广泛关注［1］。非线性变系数发展方程往往比非线性常系数发展方程具有更广泛的物理意义，所以寻求非线性变系数发展方程的解具有重要意义［2］。本文研究如下形式的Riccati方程：

其中：P（x）、Q（x）、R（x）是连续的函数。

Liouville在1841年已经证明：Riccati方程没有初等解法［3］，但是如果能找到Riccati方程的一个特解，再通过初等变换，可求出方程的通解。许多文献对Riccati方程的特解进行了研究［4－5］，但本文并没有从求其特解这方面入手，而是用G′／G展开法［6－17］和齐次平衡原理［18－19］对Riccati方程进行了研究，得到满足一些条件的Riccati方程［20］具有G′／G解，并列举一些特例。然后对一些特例进行了验证，并求出其精确解。

1 Riccati方程G′／G解的存在性

其中：G＝G（x）并且满足二阶线性常微分方程

把式（3）、式（5）和式（6）代入式（2）后，平衡最高阶导数项和最高阶次数项得到m＝1。那么，可设

2 求解举例

对于上面列举的一些例子，下面针对其中2个求出其精确解，具体过程如下。

例1如下方程：

把式（4）、式（19）和式（20）代入式（18）可以得到如下形式的解：

其中：C1和C2是任意的常数。……