●建 (华市第一中学 浙江华 321015)

妙用判别式巧解数学题

●金建军(金华市第一中学 浙江金华 321015)

一元二次方程根的判别式是方程知识的核心内容，是联系3个“二次”(二次函数、二次方程与二次不等式)的重要桥梁.运用判别式解数学题，关键在于构造函数根(零点)的一元二次方程，然后利用Δ≥0来求解;或构造恒大于(或小于)0的二次不等式，然后利用Δ≤0来证明.现举几例，以飨读者.

1 判别式在等式与不等式中的应用

1.1 解方程(组)

例1若 x，y∈R，满足2x－2x2y2－2y(x+ x2)－x2=5，则x= ______，y =______.

(2013年浙江省高中数学竞赛试题)

解把等式看成关于x的一元二次方程

例2试求满足方程x2－2xy+126y2=2 009的所有整数对(x，y).

(第6届东南地区高中数学竞赛试题)

解设整数对(x，y)满足方程

将其看作关于x的一元二次方程，则

由题意知Δ的值应为一个完全平方数.若y2＞42，则Δ＜0;若y2＜42，则y2可取0，12，22，32，相应的Δ值分别为8 036，7 536，6 036和3 536，它们都不是平方数.因此，仅当 y2=42时，Δ=500(42－y2)+36=62为完全平方数.

当y=4时，方程(1)可化为x2－8x+7=0，解得x=1或x=7;当y=－4时，方程(1)可化为x2+ 8x+7=0，解得x=－1或x=－7.

综上可知，满足原方程的全部整数对为:(1，4)，(7，4)，(－1，－4)，(－7，－4).

点评利用主元变换，妙用Δ≥0，巧解方程.

1.2 证明等式

例3如果 a，b，c，d都是实数，且 a2d2+ b2(d2+1)+c2+2bd(a+c)=0，求证:b2=ac.

证明把等式整理成关于x的一元二次方程

点评构造方程，妙用判别式，借助非负数使问题顺利解决.

练习1已知实数a，b，c满足a=6－b，c2= ab－9，求证:a=b.

证明由已知式得

练习2已知(z－x)2－4(x－y)(y－z)=0 (其中x≠y)，求证:2y=x+z.

证明构造以(x－y)，(z－x)，(y－z)为系数的一元二次方程

由根与系数的关系可知

1.3 证明不等式

例4 已知α+β+γ=π，求证:

证明视不等式的左边减去右边为一个关于x的二次函数，则

其判别式为

故开口向上的二次函数f(x)恒为非负，即……