张坤等

抽象函数问题是学生学习函数时的一个难点，那么怎样突破因“抽象”而造成的解题障碍呢？“化生为熟”应该是一个重要的解题策略，利用我们所熟悉的函数、性质、定义、法则等，将抽象的问题熟悉化，从而打开解决抽象函数问题的通道.

一、利用熟悉的和谐结构式化生为熟

通过观察题目所给条件的结构特征，将之与所学过的熟悉内容建立联系，进行问题转化.

例1已知函数f（x）的导函数为f ′（x），若2f ′（x）

A.3f（2ln2）>2f（2ln3）B.3f（2ln2）<2f（2ln3）

C.3f（2ln2）=2f（2ln）

D.3f（2ln2）与2f（2ln3）的大小不确定

解析观察题目选项中的结构式，将3f（2ln2），2f（2ln3）， 变形为和谐结构式f（2ln2）2，f（2ln3）3来比较大小，比较容易想到构造函数g（x）=f（2lnx）x，则g′（x）=2f ′（2lnx）-f（2lnx）x2，又对任意x∈R，2f ′（x）>f（x）成立，因此，2f ′（2lnx）-f（2lnx）>0，故g′（x）>0成立，所以g（x）在（0，+∞）上递增，故g（2）

二、利用熟悉的定义化生为熟

根据题目所给的条件信息，将之与所学过的数学定义建立联系，寻找解决问题的突破口.

例2已知函数f（x）是R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，则函数y=f（x）在区间[-9，9]上零点的个数为（ ）.

解析由条件f（x+6）=f（x）+f（3），联想周期函数的定义f（x+T）=f（x），在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3得f（3）=f（-3）+f（3），又f（x）为偶函数，∴f（-3）=f（3），∴f（3）=2f（3），∴f（3）=0，∴f（x+6）=f（x），故f（x）是以6为周期的周期函数.

由条件f（x1）-f（x2）x1-x2>0知f（x）在[0，3]上递增，进而得到函数在[0，3]上的草图，再利用函数的周期性和偶函数特点，描绘出函数的整体草图（图略），易知答案为4.

三、利用熟悉的法则化生为熟

根据题目所给条件信息，将之与所学过的数学法则建立联系，从而构造出满足条件的对象，使问题获解.

例3已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f ′（x），且满足f ′（x）>f（x），则下列结论正确的是（）.

A.f（1）>ef（0）B.f（1）

C.f（1）>f（0）D.f（1）

解析由条件f ′（x）-f（x）>0，联系到商的导数法则[f（x）g（x）]′=f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x），要想得到f ′（x）-f（x）>0，则g（x）与g′（x）应相等，故可取g（x）=ex，构造h（x）=f（x）ex，则h′（x）=ex（f ′（x）-f（x））e2x>0，∴h（x）在R上递增，∴h（1）>h（0）即f（1）e>f（0）e0，故选（A）.

四、利用熟悉的函数模型化生为熟

根据题目所给多种信息，将之与具体的函数模型建立联系，从而将抽象问题具体化，从而找到解题途径.

例4设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y），若a1=12，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为（ ）.

A.[12，2]B.[12，2）C.[12，1]D.[12，1）

解析由题目的已知条件，联想到指数函数的运算法则ax+y=ax·ay，所以不妨取f（x）=ax，又a1=f（1）=a1=12，∴f（x）=（12）x，所以Sn=12[1-（12）n]1-12=1-（12）n，故数列{an}的前n项和Sn的取值范围为[12，1），故选D.

（收稿日期：2014-10-12）