许进

【摘要】以考研数学历年真题为例，分析说明在解答考研数学中的选择题时，若恰当运用排除法，则可以起到事半功倍的效果.

【关键词】高等数学;微积分;线性代数;选择题;排除法

引 言

高等数学是理工类专业的基础课.在研究生入学考试中，高等数学不仅是报考理工类专业的考生的必考科目，也是报考经济学、农学、医学等专业的考生的必考科目，所考查的内容包括微积分、线性代数、空间解析几何（数学二、数学三不要求）、概率论与数理统计（数学二不要求），所考查的题型有选择题、填空题和解答题（包括计算题和证明题）三种，其中选择题约占全卷总分的21%，均为单项选择题.在选择题中，有些问题若直接求解，则较为困难或运算过程较为繁琐，这时若巧用排除法[1-6]，则可以方便快捷地选出正确的选项.

本文将以历年考题为例来分析说明在解答考研数学中的选择题时，若恰当运用排除法，则可以起到事半功倍的效果.

1.函数的性态

例1 以下四个命题中正确的是（  ）.

A.若f′（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界

B.若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界

C.若f′（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界

D.若f（x）在（0，1）内有界，则f′（x）在（0，1）内有界

解 令f（x）=1x，则f′（x）=-1x2，显然，f′（x）和f（x）都在（0，1）内连续，但f（x）在（0，1）内无界，则A，B都不正确.

令f（x）=x，显然f（x）在（0，1）内有界，但f′（x）=12x在（0，1）内无界，则D不正确.

故应选C.

2.数列的极限

例2 设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0，limn→∞bn=1，limn→∞cn=∞，则必有（  ）.

A.an

C.极限limn→∞ancn不存在D. 极限limn→∞bncn不存在

解 由假设条件可知limn→∞an0，当n>N后有an

若取an=1n2，cn=n，显然limn→∞an=0，limn→∞cn=∞，

而limn→∞ancn=limn→∞nn2=0，从而C不正确，故应选D.

例3 设数列{xn}与{yn}满足limn→∞xnyn=0，则下列断言正确的是（  ）.

A.若xn发散，则yn必发散

B. 若xn无界，则yn必有界

C.若xn有界，则yn必为无穷小

D.若xn为无穷小，则yn必为无穷小

解 若取xn=n，yn=1n2，显然（A）不正确.

若取xn=n，n为偶数;

0，n为奇数. yn=0，n为偶数;

n，n为奇数.

则limn→∞xnyn=0，且xn无界，但yn也无界，则B不正确.

若取xn=1n2，yn=n，显然C不正确.

故应选D.

3.函数的极限

例4 设对任意的x总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且limn→∞[g（x）-φ（x）]=0， 则limx→∞f（x）（  ）.

A.存在且等于零B.存在但不一定为零

C.一定不存在D.不一定存在

解 若令φ（x）=1-1x2，g（x）=1+1x2，f（x）=1，

显然φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx→∞[g（x）-φ（x）]=0，此时limx→∞f（x）=1.

则A和C不正确.

若令φ（x）=x-1x2，f（x）=x，g（x）=x+1x2，

则φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx→∞[g（x）-φ（x）]=0，但limx→∞f（x）=∞（不存在）.

从而B不正确，故D正确.

例5 设函数f（x）在（-∞，+∞）单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（  ）.

A.若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛

B.若{xn}单调，则{f（xn）}收敛

C.若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛

D.若{f（xn）}单调，则{xn}收敛

解 令f（x）=arctanx，x≤0;

1+arctanx，x>0. xn=（-1）nn.

显然f（x）在（-∞，+∞）上单调有界，limn→∞xn=0收敛，但

f（xn）=arctan（-1n），n为奇数;

1+arctan1n，n为偶数.

limn→∞f（xn）不存在，则A不正确.

令f（x）=arctanx，xn=n.

limn→∞f（xn）=limn→∞arctann=π2收敛，且f（xn）=arctann单调，但limn→∞xn=0，则C，D均不正确，故应选B.

例6 若limx→0xf（x）+sin6xx3=0，则limx→0f（x）+6x2等于（  ）.

A.0    B.6    C.36    D.∞

解 令xf（x）+sin6x=0，显然有limx→0xf（x）+sin6xx3=0，此时，f（x）=-sin6xx，

limx→0f（x）+6x2=limx→06-sin6xxx2=limx→06x-sin6xx3=36，

显然A，B，D均不正确，故应选C.

4.一元函数的连续性与可导性

例7 设f（x）和φ（x）在（-∞，+∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，φ（x）有间断点，则（  ）.

A.φ[f（x）]必有间断点

B.[φ（x）]2必有间断点

C.f[φ（x）]必有间断点

D.φ（x）f（x）必有间断点

解 设f（x）≡1，φ（x）=1，x≥0;

-1，x<0. 显然f（x），φ（x）符合题设条件，而

φ[f（x）]≡1，[φ（x）]2≡1，f[φ（x）]≡1都处处连续，则排除（A）（B）（C）， 故应选（D）.

例8 设f（0）=0，则f（x）在点x=0可导的充要条件为（  ）.

A.limh→01h2f（1-cosh）存在

B.limh→01hf（1-eh）存在

C.limh→01h2f（h-sinh）存在

D.limh→01h[f（2h）-f（h）]存在

解 由于limh→0f（1-cosh）h2=limh→0f（1-cosh）-f（0）1-cosh1-coshh2=12limh→0f（1-cosh）-f（0）1-cosh=12f′+（0），

由于1-cosh>0，则A中极限存在只能推得f（x）在x=0处的右导数存在，所以A不正确.

若取f（x）=x23，显然f′（0）不存在，但

limh→01h2f（h-sinh）=limh→0（h-sinh）23h2=limh→0h-sinhh323=1623存在，所以C不正确.

若取f（x）=1，x≠0;

0，x=0.显然f′（0）不存在，因为f（x）在x=0处不连续，但

limh→01h[f（2h）-f（h）]=limh→01h[1-1]=0，所以D不正确.

故应选B.

例9 设f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分条件是（  ）.

A.f（a）=0且f′（a）=0B.f（a）=0且f′（a）≠0

C.f（a）>0且f′（a）>0D.f（a）<0且f′（a）<0

解 若令f（x）=（x-a）2，显然f（a）=0，f′（a）=0，但|f（x）|=（x-a）2在x=a可导，则A不正确.

若f（a）>0，由于f（x）在x=a处可导，则f（x）在x=a处连续，从而在x=a的某邻域内f（x）>0，此时|f（x）|=f（x），|f（x）|与f（x）在x=a处可导性相同，故C不正确.

同理D不正确，故应选B.

5.反常积分

例10 下列反常积分发散的是（  ）.

A. ∫1-1dxsinxB. ∫1-1dx1-x2

C.∫+∞0e-x2dxD.∫+∞2dxxln2x.

解 ∫1-1dx1-x2=arcsinx1-1=π收敛;

因为12π∫+∞-∞e-x22dx=1，

所以∫+∞0e-x2dx肯定收敛;∫+∞2dxxln2x=1lnx+∞2=1ln2收敛.

故应选A.

6.多元函数的连续性、可导性与可微性

例11 二元函数f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（  ）.

A.lim（x，y）→（0，0）[f（x，y）-f（0，0）]=0

B.limx→0f（x，0）-f（0，0）x=0且limy→0f（0，y）-f（0，0）y=0

C.lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+y2=0

D.limx→0[fx（x，0）-fx（0，0）]=0且limy→0[fy（0，y）-fy（0，0）]=0

解 因为连续和可导都不是可微的充分条件，则A，B都不正确.

取f（x，y）=0，xy≠0;

1，xy=0.

则limx→0[fx（x，0）-fx（0，0）]=0且limy→0[fy（0，y）-fy（0，0）]=0，但f（x，y）在（0，0）点处不可微，因为f（x，y）在（0，0）处不连续，故应选C.

7.偏导数与全微分

例12 设函数u（x，y）=φ（x+y）+φ（x-y）+∫x+yx-yψ（t）dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（  ）.

A.2ux2=-2uy2B. 2ux2=2uy2

C.2uxy=2uy2D.2uxy=-2ux2.

解 令φ（x）=x2，ψ（x）≡0，则u（x，y）=（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2，

2ux2=4，2uy2=4，2zxy=0， 显然A，B，C均不正确，故应选B.

8.多元函数的极值

例13 设z=f（x，y）在点（0，0）处连续，且limx→0y→0f（x，y）sin（x2+y2）=-1，则（  ）.

A.fx（0，0）不存在

B.fx（0，0）存在但不为零

C.f（x，y）在点（0，0）处取极小值

D.f（x，y）在点（0，0）处取极大值

解 取f（x，y）=-（x2+y2），显然满足原题条件，但fx（0，0）=0，f（x，y）=-（x2+y2）在（0，0）取极大值，因此选项A，B，C均不正确，故应选D.

9.二重积分

例14 设区域D{（x，y）|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f（x）为D上正值连续函数，a，b为常数，则Daf（x）+bf（y）f（x）+f（y）dσ等于（  ）.

A.abπB.ab2π

C.（a+b）πD.a+b2π

解 取f（x）≡1，显然符合题设条件，而

Daf（x）+bf（y）f（x）+f（y）dσ=12D（a+b）dσ=a+b2π.

显然A，B，C均不正确，故应选D.

10.无穷级数

例15 设∑∞n=1un为正项级数，下列结论正确的是（  ）.

A.若limn→∞nun=0，则∑∞n=1un收敛

B.若存在非零常数λ，使limn→∞nun=λ，则∑∞n=1un发散

C.若∑∞n=1un收敛，则limn→∞n2un=0

D.若∑∞n=1un发散，则存在非零常数λ，使得limn→∞nun=λ

解 考虑an=1nlnn，级数∑∞n=21nlnn发散，但limn→∞nan=limn→∞1lnn=0，则A，B都不正确.

考虑an=1n2，显然级数∑∞n=1an收敛，但limn→∞n2an=1≠0，则C不正确.

故应选B.

例16 设0≤an<1n（n=1，2，…），则下列级数中肯定收敛的是（  ）.

A.∑∞n=1anB.∑∞n=1（-1）nan

C.∑∞n=1anD.∑∞n=1（-1）na2n

解 （1） 取an=12n，显然0

（2）取an=12n，当n为奇数;

12n，当n为偶数.显然有0≤an<1n，但

∑∞n=1（-1）nan=-12+14-123+18-…-122n-1+14n-…=-∑∞n=1122n-1+14∑∞n=11n，

而∑∞n=1122n-1收敛，∑∞n=11n发散，则∑∞n=1（-1）nan发散，则B不正确.

故应选D.

例17 设级数∑∞n=1un收敛，则必收敛的级数为（  ）.

A.∑∞n=1（-1）nunnB.∑∞n=1u2n

C.∑∞n=1（u2n-1-u2n）D.∑∞n=1（un+un+1）

解 （1） 取un=（-1）nlnn，由Leibniz判别法可知∑∞n=1un收敛，但∑∞n=2（-1）nunn=∑∞n=21nlnn发散，则（A）不正确.

（2）取un=（-1）n-1n，显然∑∞n=1un收敛，∑∞n=1u2n=∑∞n=11n发散，则（B）不正确，而

∑∞n=1（u2n-1-u2n）=∑∞n=1（12n-1+12n），由于12n-1+12n≥12n+12n=2n，而∑∞n=12n发散，则∑∞n=1（u2n-1-u2n）发散，C不正确，故应选D.

11.线性代数问题

例18 已知非零矩阵A满足A3=O，E是与A同阶的单位矩阵，则（  ）.

A.E-A不可逆，E+A可逆

B.E-A不可逆，E+A不可逆

C.E-A可逆，E+A可逆

D.E-A可逆，E+A不可逆

解 取三阶位移矩阵A=010

001

000，显然A≠O，而A3=O.

由于E-A=1-10

01-1

001及E+A=110

011

001显然均可逆，则A，B，D均不正确.

故应选C.

例19 已知矩阵A=12

21，则在实数域上与A合同的矩阵为（  ）.

A.-21

1-2B. 2-1

-12

C.21

12D.1-2

-21

解 （两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正、负特征值的个数要对应相同）

由于A=-3<0，则A恰有正、负特征值各一个，而

-21

1-2=3>0，2-1

-12=3>0，21

12=3>0， 因此A，B，C均不正确.

故应选D.

例20 实二次型f（x1，x2，x3）=2x21+x22-4x23-4x1x2-2x2x3的标准形为（  ）.

A.2y21-y22-3y23B.-2y21-y22-3y23

C.-2y21+y22D.2y21+y22+3y23

解 由于f（0，0，1）=-4<0，则D不正确;由于f（1，0，0）=2>0，则B不正确;又由于r（A）=3，则C不正确.故应选A.

小 结

通过以上所举的例子我们可以清楚地看出，在解答考研数学中的选择题时，若恰当运用排除法，则可以达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]谢广喜. 考研数学选择题巧解方法[J].高等数学研究， 2006，9（3）：62-64.

[2]蔡燧林，胡金德，陈兰祥. 考研数学辅导讲义[M].北京：学苑出版社， 2008.

[3]陈文灯，黄先开，曹显兵. 考研数学题型集粹与练习题[M].北京：世界图书出版公司， 2008.

[4]陈文灯. 考研数学单选题解题方法与技巧（第四版）[M].北京：北京理工大学出版社， 2012.

[5]王式安，武忠祥. 考研数学基础精编教程[M].北京：中国人民大学出版社， 2012.

[6]武忠祥. 数学考研历年真题分类解析[M].西安：西安交通大学出版社， 2012.