李晓晔

【摘要】本文从数学猜想入手，通过探析数学猜想对中学数学教学的影响，揭示数学猜想的方法论意义，从直观猜想、类比猜想、构造猜想、归纳猜想等四个方面论述了数学猜想的运用，阐述了数学猜想在中学教学中的渗透.

【关键词】数学猜想;中学教学;渗透

数学教育在现代教育中占有重要地位，数学教育改革使人们认识到培养数学思维品质的重要性.面对丰富的数学知识与理论，学习者不应该只是片面地接受和掌握，还需要传承与创新，数学猜想是创造性思维的源泉，为数学的发展提供动力支持.数学猜想是数学创新的一种思维方式，所以在中学数学教学中，渗透数学猜想，培养创新能力具有重要意义.

一、数学猜想

数学猜想即根据某些已知的数学知识与事实，对一些数学的理论方法作出的猜测类推断.它为数学发展提供推动力，例如在1900年，巴黎国际数学家代表会议上，希尔伯特提出了23个数学问题，这些问题对20世纪数学的发展产生了巨大的影响，其中部分问题就是以猜想的形式出现.数学猜想是创新型思维的体现，猜想的真伪需要理论的证明作以判断，需要人们不断对知识进行编码加工得以实现.同时数学猜想并非胡乱地妄下断言，在一定条件下，人们原有的认知结构在创造力推动下运用合理的逻辑思维才能完成猜想的过程，所以数学猜想并非猜测，而是一种高水平的数学思维活动.

二、数学猜想对中学教学的影响

1.丰富数学教学内容

在中学教学中，教师经常按照课本以及教学参考书中的内容进行教学活动，如果在教师的指导下，引导学生对未知问题及结果进行猜想，并在课堂中实施这一过程，便能实现教学内容的丰富.针对学生的各种猜想，教师给予恰当的评价，并对学生猜想进行讨论及研究，这既实现了课堂内容的延伸及教学内容的拓展，同时为开发教学思维创造灵感.

2.增强课堂教学活力

课堂的生命力在于教学方式的多样化，将数学猜想的思维方法融入课堂，并将其发展为一种教学模式，学生在猜想中建构知识，实现认知重组，这样便改变了传统的纯理论教学方式，生成一种令学生思维全面拓展的新型课堂.将数学猜想注入课堂同时有利于彰显课堂的凝聚力，教师学生同时进行思考，学生由过程的体验发散了思维，也便于形成良好的课堂氛围，这也为课堂提供了活力，为教学效果提升作出了贡献.

3.开拓学生创新能力

数学猜想在教学中的主体是学生，学生积极的猜想无疑可以增强对问题的探求能力，数学猜想并不是人人都能做到的，逻辑的推理能力、严密的思维和固有的认知基础都是数学猜想必不可少的要素.通过数学猜想能实现数学的进步，当然学生的猜想为其在数学领域的提高起到关键性作用，不论是对于问题解决能力的拓展还是创新能力的增强都起到催化剂的效果.

三、数学猜想在中学数学中的渗透

数学猜想的形式多种多样，在这里根据实现数学猜想的方法，分成几类进行说明.

1.直观猜想

根据研究对象的特征，建立与以往经验的联系，对问题进行猜想即直观猜想.教师引导学生分析命题的外在因素，挖掘本质特征，对问题解决的方法作出猜想.

例1 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则a+b+cx+y+z=.

分析 根据题目，常规的想法是将所给的三个方程联立成方程组，按照方程的一般解法寻找特殊的关系，这种做法过于烦琐.观察题目中所给的方程，发现方程右端的常数存在10×40=202这一特殊关系，猜想能否运用不等式解决问题.其实，由柯西不等式

ax+by+cz≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）=40×10=20，

当且仅当ax=by=cz时不等式等号成立，令

ax=by=cz=k，

容易得到k=12，故 a+b+cx+y+z=12.既然猜想到可以用不等式解决问题，还可以从ax+by+cz入手，即

ax+by+cz=12（2ax+2by+2cz）≤12（2a）2+x22+（2b）2+y22+（2c）2+z22=20，

当且仅当2a=x，2b=y，2c=z时可以取到等号，得

a+b+cx+y+z=12.

2.类比猜想

类比猜想即寻找事物间相类似的特性，根据问题条件，猜想是否可用这些相类似的特征解决问题.进行类比猜想对知识的迁移能力要求较高，当然这种猜想方法对数学思维的提升具有重要价值.

根据例1中的题目内容，题目中含有六个未知量，并已知每三个未知量平方和的数值，猜想是否可以根据空间向量的关系解决问题.于是，建立空间直角坐标系.

设Aa，b，c，Bx，y，z，O（0，0，0），得到 OA=10，OB=40，OA·OB=20，OA·OB=ax+by+cz=20，因此

OA·OB=OA·OB.

即OA∥OB，且OA与OB同向，故ax=by=cz=OAOB=12，得a+b+cx+y+z=12.

3.构造猜想

构造猜想即根据事物的结构或存在规律作出相应的猜想.这种猜想方法要求熟悉问题内部结构以及问题间结构，根据这种结构关系对问题作出猜想简化问题.

例2 已知实数x，y，满足|x+y|<13，|2x-y|<16，求证：|y|<518.

分析 由题目条件中出现的不等式想到用线性规划的方法来解决，但过程十分复杂，于是猜想能否构造出|y|关于|x+y|与|2x-y|的关系式.

3|y|=3y=2（x+y）-（2x-y）≤2|x+y|+|2x-y|.

由|x+y|<13，|2x-y|<16， 得到

3|y|<23+16=56，故|y|<518.

4.归纳猜想

归纳猜想是利用从特殊到一般的思想，通过分析研究对象，猜想全部对象都具有该特征，这种猜想方法即将问题特殊化，从特殊化的问题中寻找有效的信息对其进行普遍应用.

例3 是否存在正整数m使f（n）=（2n+7）·3n+9对任何自然数n都能被m整除.

分析 考虑f（n）=（2n+7）·3n+9是否能被m整除，从特殊情况入手.

f（1）=9×3+9=36，

f（2）=11×32+9=3×36，

f（3）=13×33+9=10×36，

f（4）=15×34+9=34×36，

……

猜想存在m=36，使f（n）=（2n+7）·3n+9对任何自然数n都能被36整除.尝试用数学归纳法给予证明：

（1）当n=1时，结论成立.

（2）假设当n=k时，f（k）能被36整除，于是当n=k+1时，有2（k+1）+7·3k+1+9=（2k+7）·3k+1+27-27+2·3k+1+9=3（2k+7）·3k+9+18（3k+1-1）.由于3k+1-1能被2整除，故18（3k+1-1）能被36整除，即当n=k+1时，f（k+1）能被36整除.这就验证了m的存在性.

四、结 语

数学猜想提供了一种创新思维的数学教育观，在这种创新思维的数学教育指导下，教师引导学生对数学进行猜想探索，虽然学生猜想到的结果大都为证明过的问题，但这一过程对于数学创新能力的提高以及数学思维的形成都具有积极意义.

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