彭增军

【摘要】求函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬，学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图像的平移得到分离常数法，进而层层深入得到求函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然，学生更容易接受.

【关键词】反函数法;常数分离法;反比例函数;图像的平移

众所周知，对函数而言最为重要的是函数三要素：定义域、值域、对应关系.从历届学生对函数三要素掌握的情况来看，值域是最薄弱的一个环节.因为求函数值域的题目形式多难度大，学生在众多的求函数值域的方法中往往莫衷一是举手无措.求函数值域的一些常用方法有：反函数法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等等.求函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域，反函数法和分离常数法是最简单、最普遍，也最具典型性的方法.然而从学生做作业反馈的情况来看，这两种方法掌握得并不理想.通过听课翻阅资料发现，在求函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域的教法上略作改进，效果则要好得多.下面将通过一个例子来具体说明：

例 求函数y=3x-2x-1的值域.

解 反函数法：

由y=3x-2x-1经过整理变形得x=y-2y-3，此时把y看作自变量，x看作因变量，x是y的函数，函数x=y-2y-3的定义域为{y|y≠3}，所以函数y=3x-2x-1的值域为{y|y≠3}.

分离常数法：

∵y=3x-2x-1=3（x-1）+1x-1=1x-1+3，

∴函数y=3x-2x-1的值域为{y|y≠3}.

求函数的值域是在高一第一章集合与函数概念中学习的，学生的具体情况是刚刚从初三步入高一，之前没有接触过“反函数”和“分离常数”，老师为讲授这一道题直接用这两种方法，学生会感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函数法，势必要引入反函数的有关概念，这样一来，那么要讲的知识就多了.如果用分离常数法，之前没有任何铺垫过渡，那么学生就会产生疑惑，比如，为什么要分离出来一个常数呢？鉴于以上考虑，反函数法是不可取的，当然在学完反函数的有关概念之后上例可以作为反函数应用的一个很好的例子.倘若从反比例函数出发，再利用函数图像的平移，最终得到分离常数法，解法就更加完美了.下面给出上例改进后的做法：

此时，老师点出由3x-2x-1到1x-1+3就是“分离常数法”.这样由反比例函数图像经过平移得到分离常数法，可以消除没有过渡直接用分离常数法的突兀生硬.老师进一步说上面这个表格只是一个过渡，同学们以后做题时直接用分离常数法即可.但是在一开始讲授分离常数法时，类似于上面表格的过渡一定要呈现给学生看.其次老师引领学生得到函数类型y=cax+b+d（a，b，c，d为常数，且a≠0）的值域{y|y≠d}.最后老师可以举一个类似于求函数y=6x+52x-1的值域的例子，从而得到函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域，即函数y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）利用分离常数法总能化为函数y=cax+b+d（a，b，c，d为常数，且a≠0）的形式，所以其值域为{y|y≠d}（d为常数）.

结合新课改和学情，从初中所学的反比例函数出发利用函数图像的平移得到分离常数法，进而层层深入得到求函数类型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D为常数，且A≠0）的值域的方法.这样做至少有以下三点好处：第一，使学生体会到以往所学的数学知识是有用的;第二，进一步加深了反比例函数的性质和图像的平移;第三，循序渐进，由易到难，由简到繁，过渡自然，学生容易接受很难忘记.