易继东

天体运动中的多星系统问题具有研究对象多个、运动模型多样、受力情况复杂、密切联系实际、考试频度较高等特点，能较好地考查同学们的空间想象能力与力学综合素养。

解决天体运动问题的两条基本思路，（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即，整理得GM=gR?，该式被称为黄金代换式（g表示天体表面的重力加速度）。（2）把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力来自于天体之间的万有引力，即在具体应用中应根据实际情况选用恰当的公式进行求解。

一、双星模型

在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，其特点如下：

（1）两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等。

（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等。

（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，且两星做匀速圆周运动的质量成反比。

例 1 如图1所示，两个星球A、B组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕其连线上0点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心的距离为R，其运行周期为丁，引力常量为G，求两星的总质量M。

解析：设两星球A、B的质量分别为M，和Mz，星球A和星球B到0点的距离分别为L1和L2。由万有引力帘律和牛顿第二定律可得，对星球A有

小结：（1）要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源。双星中两颗子星可以看成在做匀速圆周运动，其向心力由两星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。（2）要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系。两子星绕其连线上的一点做匀速圆周运动，它们的运行周期是相等的，角速度也是相等的，所以两子星的线速度与其轨道半径成正比。（3）要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系。对星体

注意：在求两子星间的万有引力时，要区分清楚两子星间的距离和两子星做圆周运动的轨道半径。

二、三星模型

三星系统由三颗相距较近的恒星组成，其运动模型有两种：一种是三颗恒星在一条直线上，两颗恒星围绕中间的恒星做圆周运动（可简称为“二绕一”模型）；另一种是三颗恒星组成一个等边三角形，三颗恒星以等边三角形的几何中心为圆心做匀速圆周运动（可简称为“三角形”模型）。

例 2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为m，引力常量为G。

（1）试求第一种形式下，星体运行的线速度和周期；

（2）假设两种形式下星体的运行周期相同，求第二种形式下星体间的距离。

解析：（1）第一种情况如图2a所示，A、B、C三颗星位于同一直线上，其中一颗星所受另外两颗星的引力的合力提供向心力，如果取星体A为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

（2）设第二种形式下星体到三角形中心的距离为，一，如图2b所示，由于星体做匀速圆周运动所需向心力由其他两颗星体对它的万有引力的合力提供，则在第二种形式下星体做匀速圆周运动的半径也为r，相邻两星体间的距离x=√3 r，相邻两星体间的万有引力。由星体做匀速圆周运动得√3 F=

小结：（1）三星系统中的“二绕一”模型，要求两个绕行小星体的质量相等，万有引力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力。注意万有引力的作用距离与轨道半径的异同。（2）三星系统中的“三角形”模型，一定要明确轨道半径与距离的关系式，并正确列出万有引力的合力的表达式。

三、四星模型

四星系统由四颗相距较近的恒星组成，与三星系统类似，通常有两种运动模式：一种是三颗恒星相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的恒星做匀速圆周运动（可简称为“三绕一”模型）；另一种是四颗恒星相对稳定地分布在正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做匀速圆周运动（可简称为“正方形”模型）。

例 3 宇宙中存在一些远离其他恒星的四星系统，其中三颗恒星的质量相等均为m，另一恒星的质量为M，引力常量为G。

（1）分析说明四颗星应具备怎样的空间结构，才能使其处于相对稳定的状态。

（2）若相邻两星体间的最小距离为L，试求此情形下星体运行的周期。

解析：（1）如图3所示，质量相等的三颗恒星位于等边三角形的三个顶点上，质量不同的另一颗恒星位于等边三角形的中心o，三颗恒星沿外接于等边三角形的圆形轨道同方向运行，即“三绕一”结构模型。这种对称的空间结构，使得质量相等的三颗恒星受到的万有引力的合力均指向同一圆心，而且处于中心位置的恒星始终受力平衡，整个系统处于相对稳定状态。

（2）由数学中的几何知识可知，质量相等的三颗恒星做匀速圆周运动的半径r，就是相邻两个星体间的最小距离L，即r=L，则质量相等的恒星间的距离为，其做匀速圆周运动的向心力由万有引力的合

小结：四星系统中的“三绕一”模型要求等边三角形三个顶点上的星体质量必须相等，所以画出空间结构的分布情况图和寻求轨道半径与星体间距离的关系是确定星体做匀速圆周运动的向心力与万有引力的合力关系的前提。

例 4 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，如图4所示。已知这四颢星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。

（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径。

（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度。

（3）求星体做匀速圆周运动的周期。

解析：（1）由四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道

（3）星体在其他三颗星的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力

小结：四星系统中的“正方形”模型要求四个星体的质量必须相等，其中任意一颗星受到其他三颗星对它的合力提供其做匀速圆周运动的向心力。同样，空间结构分布情况图是进行受力分析、理清轨道半径与星体间的距离、辨明向心力与万有引力合力关系的关键所在。