秦 浩， 廖海黎， 李明水

(1.西华大学流体及动力机械教育部重点实验室, 四川 成都 610039; 2.西南交通大学风工程试验中心， 四川 成都 610031)

大跨度变截面连续钢箱梁桥涡激振动线性分析法

秦 浩1,2， 廖海黎2， 李明水2

(1.西华大学流体及动力机械教育部重点实验室, 四川 成都 610039; 2.西南交通大学风工程试验中心， 四川 成都 610031)

涡激力沿主梁跨向具有偏相关性，基于Scanlan涡激力经验线性模型，假定涡激振动风速下，整个梁段涡脱频率锁定，提出适用于变截面连续梁桥的三维涡激力经验线性模型，从而建立节段模型与变截面梁实桥之间涡激振动幅值之间的关系。通过变截面梁几个典型位置截面的节段模型风洞试验，获得描述整个变截面主梁三维涡激力经验线性模型等效参数，实现对整个变截面连续梁桥涡激振动响应的评估。通过某典型的三跨变截面连续钢箱梁桥涡激振动风洞试验，验证理论的有效性。

涡激振动； 线性理论； 变截面； 偏相关； 风洞试验

引 言

引起桥梁产生涡激振动的涡激力，通常是由流体绕经钝体桥梁断面而形成的周期性交替脱落的涡漩引发的。来流风速比涡激振动发生风速低时，涡激频率与来流风速近似为线性关系，桥梁结构振动表现为强迫振动特性，当涡激频率与结构固有频率接近时，涡激力开始呈现出自激特性。风速进一步增大，涡激频率与结构振动频率完全一致，结构振动达到涡激共振状态，此时，涡激频率在一定范围内不随风速变化而变化，就像被“锁定”一样[1]。涡激振动的特点是发生风速较低，是一种限幅振动，不具发散性且不会对桥梁本身造成具大的破坏作用，但会对桥梁施工安全及行车舒适性产生影响，严重时甚至会产生结构疲劳破坏[2]。半经验模型依据一定的理论和试验，通过适当选取模型参数，可准确地描述钝体涡激振动现象，在研究大跨度桥梁涡激振动中具有重要价值[3-4]。假定涡激力和结构运动是二维的，目前已建立多种涡激气动力半经验模型，具有代表性的有经验线性模型[1]、Scanlan半经验非线性模型[5]、Larsen广义非线性模型[6]等。由于涡激力的非线性特性，使得这些模型不适合直接推广到全桥。Wilkinson利用刚性节段模型风洞试验，研究了方柱涡激气动力的相关性，利用不同振幅下测压获取相关性函数拟合了涡激力相关性经验公式[7]。Ehsan[8]采用Scanlan非线性模型和Wilkinson相关性函数，给出了主梁沿跨向涡激振动振幅的近似公式。朱乐东指出了考虑涡激力相关性的重要性[4]，鲜荣研究了箱梁的涡激力相关函数，初步将其应用于大跨度桥梁的涡激振动分析[9]。李明水基于涡激力经验线性模型，研究了涡激力沿跨向的相关性，给出了节段模型涡振试验结果应用到原型桥梁的具体方法[10]。

以上研究均局限于等截面梁桥。而在大跨度桥梁中，连续钢箱梁桥由于其受力特点，一般采用墩顶加高的变截面梁设计。与等截面的斜拉桥和悬索桥相比，连续钢箱梁桥本不易发生风致振动，但随着跨度增加，结构变柔，阻尼又小，在常遇风速下，主梁存在发生竖弯涡激振动的可能[11]。变截面桥梁沿跨向具有明显的不同，其气动特性是整个跨度范围内的综合，任一截面的气动特性均没有代表性。因此上述的理论方法无法直接应用于变截面梁桥。

本文基于Scanlan涡激力经验线性模型，提出适用于变截面连续梁桥的三维涡激力经验线性模型，建立节段模型与变截面梁实桥之间涡激共振幅值之间的关系。通过变截面梁几个典型位置截面的节段模型风洞试验，获得描述整个变截面主梁三维涡激力经验线性模型等效参数，实现对整个变截面连续梁桥涡激振动响应的评估。

1 变截面梁涡激振动线性理论

在某一涡激共振风速下，涡激力一般只激发起某一阶固有模态的共振，使得基于单自由度振动的涡激力模型具有了实际意义。对于大跨度钢箱梁连续梁桥，因其扭转振动频率很高，扭转涡激振动锁定风速很高，可以不考虑扭转涡激振动[11]。

基于文献[1]中Scanlan线性自激力模型，假定涡激振动风速下，整个梁段涡脱频率锁定。考虑涡激力(升力)沿跨向存在相位差，可将竖向涡激振动运动方程写为

(1)

将上述方程广义坐标化

y(x,t)=φ(x)ξ(t)

(2)

式中φ(x)为主梁振型函数，以下简记为φ；ξ(t)为广义坐标。代入模型整理可得

(3)

其中

从上式可以看出，自激力通过等效阻尼及等效气动刚度来体现，可分别定义为

(4)

式中ζev，ωev为涡激方程中自激力Y1,Y2的参数。对于具体的变截面梁，应为跨向位置x的函数。工程应用中，可通过几个典型位置截面的节段模型试验获得典型位置的Y1和Y2，然后插值拟合整个梁段的Y1和Y2，从而得到气动阻尼及气动刚度参数。

由于稳定的涡激振动，其解应为正(余)弦形式，则可求得方程(3)关于涡激振动稳态解的表达式

(5)

在广义坐标下，涡激振动方程稳态解(5)两边乘以mφ2，然后对方程两边沿跨向x积分，得到整跨涡激振动的稳态解

(6)

其中参数分别为：

参数λ(x)体现了涡激振动中，自激力及涡激力对涡激振动的综合作用。在工程应用中，例如变截面连续梁桥，可定义跨中截面为参考截面，定义由截面变化引起的气动力变异系数μλ(x)为其余截面的λ(x)与参考截面λ(x0)的比值，即

(7)

则涡激振动稳态解可表示为

(8)

进而讨论Ft相关系数，其相关函数

(9)

式中Rf(τ)表示f(t,x)=sin(ωst-α)对应的相关函数。

根据Fourier变换

(10)

再利用空间谱相关函数关系[10]

涡激振动在锁定区，涡脱频率与结构频率一致，工程中涡激振动一般为单一频率，S(ω)可以看作纯二维的涡激力谱，认为R与频率ω无关，上式可改为

SF(ω)=RFS(ω)

(11)

式中

定义如下卷积分[10]

(12)

可以求得折算系数表达式为

(13)

基于以上推导，公式(8)可改为

(14)

此时，涡激振动振幅值为W0Φ/(meqψ)，其中R(Δx)为涡激力沿跨向相关函数，精确的相关函数R(Δx)可通过风洞试验获得。参考文献[7-10]详细论述了通过引入涡激力相关性时的意义和具体的方法，建立等截面梁节段模型和实桥之间的关系。

目前尚缺乏桥梁断面沿跨向的涡激力相关性研究，下文以Wilkinson涡激力相关函数为例，讨论将节段模型试验的结果应用到原型桥梁的方法。

Wilkinson通过对方柱体节段模型测压试验提出涡激力相关函数的公式

(15)

式中η为涡激振动振幅和梁高D之比。Ehsan拟合得到如下参数[8]

2 线性模型方程结果讨论

2.1 等截面动力节段模型

等截面动力节段模型风洞试验是讨论变截面涡激振动的基础。其涡激振动振型系数φ(x)=1，且μλ(x)=1，不沿跨向变化，下面针对涡激力沿跨向全相关和偏相关进行分别讨论。

全相关情况，R(Δx)≡1，此时

(16)

从公式(14)可以得出

(17)

其涡激振动振幅值为W0/meq该值与现行传统试验方法采用的理论计算值完全一致，即认为节段模型试验结果可以按缩尺比直接折算出实桥结果。该情况可作为以下振幅结果的基准值，并定义以下各种该情况振幅与该情况振幅比值为振幅折算系数μA。

(18)

2.2 等截面连续梁桥

对于等截面连续梁桥，μλ(x)=1。其振型函数φ(x)是跨向位置x的函数。由于主梁发生涡激振动的振型为前几阶振型，这些振型一般可近似为正弦或余弦函数。例如针对第1阶振型,按涡激力沿跨向全相关和偏相关进行讨论，其振型函数近似为φ(x)=cos(πx/L)，全相关时，即R(Δx)≡1，且φ(x)=cos(πx/L)，则ψ=1/2及Φ=2/π，代入公式(14)可得振幅，与结果(17)相比，可知振幅折算系数

μA=4/π

(19)

该值与文献[4]中值一致。

2.3 变截面主梁

由截面变化引起的气动变异系数μλ(x)不为常数，可根据风洞试验来确定。振型函数φ(x)是坐标的函数，大跨度变截面连续梁桥发生涡激振动的振型为前几阶竖弯振型，这些振型一般也可近似为正弦或余弦函数，如针对第1阶振型进行讨论，其振型函数近似为φ(x)=cos(πx/L)，则ψ=1/2。

完全相关有

(20)

式中

代入公式(14)并与解(17)相比，可得振幅折算系数

(21)

偏相关时，按照方柱测压结果考虑相关系数R(Δx)代入公式(13)

(22)

由于η为振幅的函数，在振幅未知的情况下不能直接通过公式(22)得到Φ。计算时需通过数值迭代计算来完成。即可先通过变截面梁全相关下的计算公式(20)计算出全相关下的Φ，代入公式(14)计算得出振幅A0并作为初始值，对应的无量纲振幅记为η0。然后利用公式(15)计算偏相关函数，代入公式(22)求得该振幅下的Φ1，代入公式(14)计算出新的振幅A1及对应的η1。之后，再一次利用公式(22)计算出Φ2，代入公式(14)计算出新的振幅A2及对应的η2。如此往复，直到计算出收敛的振幅A。

3 节段模型结果计算变梁高全桥实例

某典型的三跨连续梁桥为110 m+150 m+110 m变梁高大悬臂钢箱梁桥，如图1所示。主梁采用单箱双室整幅变梁高钢箱，梁宽36.0 m，中间两墩顶箱梁梁高6.5 m，墩顶段长5 m，变高段长37.5 m，采用直线变化，其余截面为等截面段，箱梁梁高为4.5 m。

图1 某变截面连续梁桥Fig.1 Continuous steel variable section box girder bridge

3.1 节段模型试验

由于高阶振动锁定风速超过该桥的设计基本风速，仅需关注一阶竖向弯曲振型，其振型函数φ(x)=cos(πx/L)。分别设计对应于跨中梁高4.5 m的常规尺度节段模型(缩尺比1∶50)，常规尺度节段模型的长度为2.095 m和一个大尺度节段模型(缩尺比1∶20)进行风洞试验，大尺度节段模型的长度为3.460 m，如图2所示。刚性的节段模型由8根拉伸弹簧悬挂在支架上，形成可以竖向振动的系统来模拟竖弯涡激振动。

图2 节段模型实验(上：1∶50 下：1∶20)Fig.2 Sectional model testing (Up: 1∶50 Down: 1∶20)

由于涡激共振的发生不依赖于弯扭耦合机制，因而对模型系统无扭弯频率比的要求。鉴于涡振通常发振风速较低，为降低模型风速比，采用刚度较大的弹簧以提高模型的自振频率。试验阻尼比按中国《公路桥梁抗风设计规范》所规定的0.5%设置。

模型振动阻尼比为0.5%量级(质量和阻尼修正方法见文献[4])，均匀流场条件下，0°风攻角时，常规尺度和大尺度节段模型均出现了明显的涡激振动，结果见图3。

图3 节段模型涡激振动试验结果Fig.3 Sectional model testing results

常规尺度节段模型的涡振区最大涡振振幅为70 mm，大尺度节段模型风洞试验得到的最大涡振振幅为78 mm。大尺度节段模型的试验结果比常规尺度节段模型的试验结果大11%，这种不一致性是由节段模型的长高比不同引起的。不同长高比导致涡激力沿模型跨向的相关性不一致，从而造成振幅差异。根据两种节段模型的长高比以及各自的振幅，若不考虑振型系数，应用涡激力偏相关理论对模型试验结果进行修正后，原型桥涡激振动振幅分别为62和65 mm，两者结果比较接近。

3.2 实桥计算结果

为了获得梁高不同所产生的气动变异系数μλ(x)，设计了对应于梁高5.5,6.5 m的常规尺度节段模型(缩尺比1∶50)进行风洞试验，识别气动参数λ，以跨中截面风洞试验结果为参考对象，得到梁高5.5,6.5 m对应的参数μλ，然后通过插值计算得出因梁高变化引起的气动变异系数μλ(x)，线性插值结果见图4。按照前文所述，通过迭代算法可以计算得出，实桥第1阶竖弯涡激振动第二跨跨中最大振幅幅值92 mm。

图4 梁高D和气动力变异系数μλ插值函数Fig.4 The linear interpolation of μλ vs D

3.3 气弹模型验证

为了验证实桥计算结果的可考性，设计缩尺比1∶70全桥气弹模型。全桥气弹模型风洞试验能真实地反映结构的风致振动响应，按照气弹模型与原型桥动力相似的原则，主要对大桥主梁模拟了质量、竖向及横向弯曲刚度；对桥墩模拟了质量、顺桥向和横桥向的弯曲刚度；对栏杆及检查车轨道等附属设施模拟了气动外形。变截面芯梁采用A3钢，激光切割，再通过焊接制作成槽型截面。主梁气动外模由硬质塑料板制作。梁段外模各小段之间留有1 mm的缝隙，以消除梁段外模对刚度的影响。铅配重置于梁段内部，从而使主梁质量达到相似性要求。外模和芯梁之间垫有硬质小垫块，通过螺栓刚性连接。栏杆和导轨都按照比例缩尺制作，模拟外形。桥墩的弯曲刚度由A3钢制成的芯梁提供，芯梁截面为矩形，使墩在顺桥向和横桥向两个弯曲刚度满足相似关系。桥墩的气动外形采用木质材料，其构造原则与主梁相同。设置非接触式激光位移传感器，分别测量每一跨跨中涡激振动的位移时程，流场条件为均匀流，试验照片见图5。

图5 全桥气弹模型实验(1∶70)Fig.5 Full bridge aeroelastic model testing(1∶70)

全桥气弹模型(缩尺比1∶70)涡激振动振幅结果见图6，第1阶竖弯涡激振动第二跨跨中最大振幅幅值为85 mm，该结果与前文基于本文提出的方法由节段模型试验结果计算得出的结果基本一致。

图6 全桥气弹模型涡激振动试验结果Fig.6 Full bridge aeroelastic model testing results

经修正后的节段模型试验结果与全桥气弹模型试验结果仍存在一定的误差。其原因主要是沿跨向变化涡激力相关函数R(Δx)是Ehsan基于方柱测压结果拟合的，与变截面大悬臂钢箱梁断面的涡激力相关系数不同。此外，截面变化引起的变异系数μλ(x)是插值实现的，与整个梁段真实的气动非线性不同。

4 结 论

讨论了由变截面梁典型位置处的节段模型风洞试验得到整个变截面梁段涡激振动振幅的方法，以实际的变截面连续梁桥为例，通过气弹模型风洞试验验证了本文提出的方法。

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A linear theory of vortex-induced vibration of long span continuous steel box girder bridge with variable cross-section

QINHao1,2,LIAOHai-li2,LIMing-shui2

(1. Key Laboratory of Fluid and Power Machine, Ministry Education, Xihua University, Chengdu 610039, China; 2. Research Center for Wind Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Vortex-induced aerodynamic force was partial correlation along the span. Based on the Scanlan′s semi-empirical linear model, a linear theory of vortex induced vibration of the long span continuous steel box girder bridge with variable cross-section was established by assuming that the vortex shedding frequency of the whole span was locked in. The methodology for applying sectional models which were selected from typical position of variable cross-section box girder bridge into prototype bridge was discussed. The line theory parameters which provided detailed depiction of variable section box girder 3-D vortex induced force were obtained. And the vortex induced resonance of the whole span was evaluated. Validity of proposed theory was proved by a series of wind tunnel tests on a three spans continuous variable section bridge.

vortex-induced vibration (VIV); linear theory; variable cross-section; partial correlation; wind tunnel testing

2013-12-25；

2015-04-03

国家自然科学基金资助项目(50978223);国家重点基础研究发展计划(973计划)(2013CB036300)

U441.3

A

1004-4523(2015)06-0966-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.015

秦浩(1980—)，男，博士，讲师。电话:(028)87720518;E-mail:imapplef@163.com