宋晓东， 吴定俊， 李 奇

(同济大学桥梁工程系，上海 200092)

基于无限元的2.5维方法预测轨道交通混凝土桥梁低频噪声

宋晓东， 吴定俊， 李 奇

(同济大学桥梁工程系，上海 200092)

提出了一种基于无限元的2.5维方法，可以快速预测桥梁结构噪声且不失精度。首先，建立沿桥梁纵向截面均匀的二维无限元模型，进行声传递向量计算。然后，联合桥梁三维模态分析结果，通过空间波数变换获得三维桥梁模型的模态声传递向量，并采用三维直接边界元的计算结果验证了所提出的2.5维方法的正确性。最后，进行车轨桥耦合振动计算，将获得的桥梁模态坐标与声模态传递向量结合起来预测桥梁振动辐射噪声。以上海某轨道交通为背景进行噪声现场测试，将现场实测结果与计算结果对比。分析表明，计算结果在近场与实测值吻合较好，但是由于忽略了相邻跨桥梁的影响，在远场数值计算结果小于实测值。

混凝土桥梁； 低频噪声； 2.5维； 无限元法

引 言

由于低频噪声对人的集中力、睡眠等有诸多负面影响[1,2]，交通系统产生的低频噪声问题已经引起了较多的关注[3,4]。由于低频噪声很难通过声屏障等措施得到有效的控制，越来越多的学者开始研究桥梁的低频噪声问题[5-11]。为了降低桥梁结构噪声，首先要提出有效的噪声预测方法。很多学者采用三维边界元法(Boundary element method，简称BEM)来进行结构噪声分析。Ghimire等[5]通过有限元谐响应分析与频域三维声学边界元结合分析了混凝土桥梁的噪声特性。李小珍[6]等通过结合时域车桥耦合振动和频域三维边界元来研究铁路桥梁噪声问题。由于车桥耦合振动是一个时变过程[7]，也有一些学者通过时域声学计算来研究低频桥梁噪声[8,9]，但是采用的振动和声学计算模型都较为简单；而对于较为复杂的模型，采用时域声学计算效率不高。李奇和韩江龙[10-12]提出了采用声模态传递向量的方法预测混凝土桥梁时域和频域的结构噪声，适合对不同车辆和车速下的桥梁辐射噪声进行参数分析。但是，用三维边界元计算较为耗时，以文献[12]中30 m跨径的U形梁为例，计算200 Hz以下的声模态传递向量需24 h。对于更长的桥梁或更高的声学分析频率，三维边界元计算时间将更长。

2.5维方法适用于截面沿某一方向均匀的问题，通过对一系列二维声压方程的解进行傅里叶变换得到三维方程的解[13-16]。Duhamel[13]最早采用2.5维边界元方法对截面均匀的声屏障进行声学分析。Salonmons等[14]在研究交通噪声时，用2.5维边界元方法作为标准来验证射线模型的准确性。Hornikx 和Forssén[15]将这一方法扩展到城市街道噪声的研究。上述研究主要基于点声源或者线声源的研究，并未直接将振动做为声源考虑。Nillson等[16]提出了一种波导有限元和2.5维边界元相结合的方法来预测钢轨的辐射噪声，钢轨的振动通过波导有限元获得，然后结合2.5维边界元计算得到其辐射声压。Nillson的模型中只考虑了钢轨在单个力作用下的振动辐射噪声，并未考虑车桥耦合效应。

由于传统边界元在计算外场噪声时存在特征频率不唯一等奇异问题，且边界元方程为满秩矩阵，计算量随着自由度的增加迅速增大，而无限元法的计算效率要比边界元高很多，因此适合求解较为复杂的结构[17]。本文将在文献[12]的基础上采用2.5维无限元方法来计算桥梁结构噪声。首先，采用2.5维无限元方法(Infinite element method，简称IFEM)计算了一座U形梁的声模态传递向量，并与三维边界元计算结果对比以验证其正确性。然后，建立车辆-钢轨-桥梁模型进行动力响应分析以获得桥梁的模态坐标。最后采用声模态传递向量方法获得桥梁结构辐射噪声，并与实测结果进行对比。

1 2.5维无限元理论

采用一个简单的模型来介绍2.5维无限元理论，三维模型截面沿z轴均匀，如图1所示, 三维Helmholtz声波方程在频域内表达[18]

(1)

图1 三维声学模型Fig．1 Geometry of the 3D acoustic model

沿着z轴对公式(1)做傅里叶变换可得二维声波方程

(2)

(3)

(4)

式中 0<β<1，本文取0.95。

2 桥梁结构噪声

2.1 声模态传递向量算法

声模态传递向量算法(Modalacoustictransfervectors，以下简称MATVs)适用于大尺度模型分析，获得桥梁模态Φb后，通过声学计算获得MATVs，再结合桥梁模态坐标谱Qb(ω)，便可得到桥梁声压谱P(ω)，公式如下[20]

(5)

式中ω为圆频率向量；ATV(ω)为声传递向量(Acoustictransfervector，简称ATV)，代表结构外表面在单位法向速度下产生的场点声压；Tn为投影矩阵，将桥梁模态投影至外表面法向。

三维桥梁模型的MATVs可以通过上述2.5维无限元方法获得，具体流程如下。首先，建立二维无限元模型，对每个单元节点施加单位法向速度，并计算一系列等间距激励频率下的声压值，即获得二维声传递向量ATV。注意到二维声压方程的解近似符合ejkr的衰减规律，r为声源和接收点之间的距离。为了保证计算精度，计算频率间隔需至少满足一个波长5个点的原则[13]

(6)

(7)

(8)

式中N为节点总数，下标m代表节点号。

2.2 车辆-轨道-桥梁耦合振动

Li[7]等提出了基于模态叠加法的数值计算方法来求解车桥耦合动力响应。车辆-轨道-桥梁系统动力学方程如下

(9)

式中q,Φ,ω,ξ和f分别代表模态坐标矩阵、模态位移矩阵、模态圆频率矩阵、模态阻尼矩阵和荷载矩阵；下标v,t和b代表车辆、轨道和桥梁；上标T表示矩阵转置。

轨道不平顺可根据随机不平顺功率谱密度函数生成时域样本，本文采用ISO3095∶2005[21]标准中的不平顺限值谱。求解式(9)后可得到时域桥梁模态坐标值，经过快速傅里叶变换(FFT)之后即可得到桥梁模态坐标频谱值Qb(ω)。

图2 基于2.5D IFEM 的桥梁结构噪声计算流程Fig．2 Schematic diagram of the 2.5D IFEM-based numerical procedure for predicting bridge-borne noise

2.3 桥梁结构噪声预测

在获得MATV(ω)和Qb(ω)之后，根据式(5)可得到桥梁辐射噪声值，整个流程如图2所示。注意到式(5)求得的是频域声压值，通过快速逆傅里叶变换(IFFT)可获得声压时程。

3 工程应用

以上海轨道交通8号线某简支U形梁为例来验证2.5维无限元方法预测结构噪声的准确性，桥梁标准断面如图3所示。该桥梁主跨25m，计算跨径23.84m，顶底板以及腹板厚度为240mm，结构采用C55混凝土。为了验证数值计算结果的精度，现场进行了声压实测，在跨中位置垂直于桥梁跨径方向横断面设置了5个麦克风来测试车辆过桥时的辐射噪声，采样频率20 000Hz，噪声测点布置图如图4所示，地面为硬化路面，可近似处理为刚性反射面。

图3 U形梁标准断面(单位：mm)Fig.3 Geometry of the U-shaped girder (Unit: mm)

图4 噪声测点布置图Fig．4 Acoustic microphone installation at mid-span

3.1 车辆和轨道模型

车辆采用7节编组(1拖车+5动车+1拖车)，车辆参数见文献[12]。实测车速范围为56～76km/h，因此数值仿真时列车车速范围取56～76km/h。钢轨截面面积为77.05cm2，采用梁单元模拟，其与桥梁之间通过橡胶垫层和扣件(WJ-2型)连接，可用弹簧和阻尼模拟，每根钢轨与桥梁之间的纵向、竖向及横向弹簧刚度分别为：20，60，20MN/m；每根钢轨与桥梁之间的纵向、竖向及横向阻尼分别为：60,80,60kN·s/m。

3.2 桥梁模型

Li[12]在研究U梁振动噪声问题时，发现桥墩对振动和噪声的影响主要在32Hz以下,而U梁实测结果表明，其噪声频谱峰值主要分布在40～80Hz，所以在研究U梁的结构噪声时，可以忽略桥墩的影响，仅需建立上部桥梁结构模型。

U梁有限元模型采用Ansys中的8节点实体单元建立，单元尺寸为0.2m，以U梁底板中心为坐标原点，如图5的所示。进行桥梁模态分析，共126阶，模态频率从4.36Hz到231.16Hz。提取各阶模态位移，用于后续的车桥耦合和MATV计算。

图5 桥梁有限元模型Fig.5 Finite element model of the girder

3.3 2.5维无限元计算MATV

在已经建立的U梁三维有限元模型基础上，选取U梁外轮廓生成二维线单元模型，然后将该线单元模型导入Actran软件中建立2维U梁无限元模型，这样可以保证有限元模型和无限元模型中U梁节点的一致性，便于有限元模态位移的映射投影从而根据公式(7)中的波数变换求得声传递向量。无限元模型最大单元尺寸为0.2m，遵循每个波长至少包含6个单元的原则，最高分析频率为283Hz。由于无限元计算精度受边界大小以及径向阶次的影响，因此需进行试算。采用圆形无限元边界，经试算，无限元边界半径取3m，径向阶数取5可获得收敛的结果，模型如图6所示。设置104个声场点，总宽度30m，高度12.6m，如图7所示。为了验证2.5维IFEM结算结果的精度，同时建立了25m单跨U梁的3维边界元模型，最大单元尺寸0.2m，在桥梁跨中位置设立相同的声场点,如图8所示，三维模型的振动声辐射计算流程见文献[12]。

图6 二维无限元模型Fig．6 2D infinite element model

图7 二维无限元模型场点Fig．7 Field points of 2D infinite element model

图8 三维边界元模型Fig．8 3D boundary element model

通过2.5维无限元和3维边界元计算2～200Hz频率内的MATVs，计算频率间隔取2Hz，未考虑地面反射，模态位移以m为单位输入。图9给出了两种方法计算获得的27号场点的MATVs，可见，2.5维无限元计算结果与三维边界元结果基本吻合。对于以整体变形为主的低阶频率(第1阶)，2.5维计算结果基本与3维完全一致，精度非常高；对于以局部变形为主的复杂高阶模态(第126阶)，两者吻合较好，略有区别。

图9 桥梁27号场点MATVsFig．9 MATVs of the girder at field point 27

3.4 2.5维无限元预测结构噪声

获得MATVs后根据式(7)可得到列车过桥时桥梁结构噪声，图10给出了76km/h车速下两种方法计算结果对比，可见，两者在时域和频域的均吻合较好，结果基本一致。根据声压频谱值可得到104个场点的总声压，如图11所示，两种方法的计算结果基本相等。

图10 76 km/h车速下场点声压Fig．10 Sound pressure at speed of 76 km/h

图11 所有场点总声压Fig．11 Overall sound pressure level at all field points

以上对比说明，2.5维无限元具有很高的精度，可以用于桥梁结构噪声预测，由于只需要建立二维模型，其自由度大大降低，因此计算速度大幅度提升。以文中U梁模型为例，计算机配置为四核2.8GHzCPU+8GB内存，采用2.5维无限元方法计算三维模型的声模态传递向量只需要927个单元，计算时间仅需2～3h；而三维边界元模型含13 568个单元，在计算声模态传递向量时需要22～24h,如表1所示。同时由表可知， 在采用商业软件进行3维边界元计算时， 其结果文件高达20GB， 而采用2.5维IFEM 计算结果文件仅占1 GB。

表1 2.5维无限元与三维边界元声模态传递向量计算对比

Tab．1 Comparison of 2.5D IFEM and 3D BEM in the computation of MATVs

方法模型对计算机要求计算时间/h结果文件/GB2．5维2维(927个)低2～313维3维(13568个)高22～2420

3.5 2.5实测与数值计算对比

假设地面为刚性，采用镜像原理计算反射声压。图12给出了68 km/h车速不同测点声压时程及频谱实测值和数值结果的对比。 由图可知， 对于近场点P1，数值结果与实测值在时域和频域都吻合较好，但是随着测点远离桥梁，两者相差越来越大，到P5测点时，实测值远远大于数值结果。产生这一现象有以下几点原因：(1)数值计算中仅考虑了一跨桥梁，而忽略了相邻跨桥梁的声压辐射，这一影响对远场点尤为重要。因此，在预测远场点声压时，需建立多跨模型，这对于三维边界元来说是一个很大的工作量，而当桥墩的影响可以忽略时，多跨桥梁声学模型沿z向仍然是均匀截面，此时2.5维无限元则能发挥优势，大大降低工作量；(2)未考虑桥墩、车身等子系统的辐射噪声；(3) 未考虑轮轨噪声、车辆设备动力噪声和受电弓噪声。

图12 声压实测值与数值结果对比Fig．12 Computed and measured sound pressure

从图12还可以看出，对于文中离地面一定高度的测点，是否考虑反射对近场点影响较小，但是对远场点影响较大，这是因为当测点离地面有一定距离时，镜像声源到近场接收点的距离大于实际声源到接收点的距离，亦即镜像声源对总声压的贡献有限；而对于远场点，镜像声源和实际声源到接收点的距离相当，此时镜像声源的贡献较大，因此在对远场点进行噪声预测时，需考虑反射的影响。

4 结 论

本文首先介绍了2.5维无限元理论，并采用2.5维无限元来求解桥梁声模态传递向量MATVs，进而计算桥梁结构噪声。以上海轨道交通8号线U梁为例，同时采用2.5维无限元和 3维边界元计算了U梁声模态传递向量和列车过桥时的辐射声压，最后通过与现场实测对比，验证了数值方法的适用性。本文结论如下：

(1) 2.5维无限元计算结果与三维边界元基本一致，精度很高，且由于模型简单，对计算机要求低，其计算时间大幅降低。

(2) 采用单跨桥梁模型计算得到的声压值与现场实测值在近场点吻合较好，但远场差异较大，实测值远大于计算值，需考虑相邻跨桥梁的影响。

(3) 对于离地面一定高度的场点，是否考虑地面反射对近场点影响小，但是对远场点影响较大。

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A 2.5-dimensional infinite element based method for the prediction of structure-borne low-frequency noise from concrete rail transit bridges

SONGXiao-dong,WUDing-jun,LIQi

(Department of Bridge Engineering,Tongji University, Shanghai 200092, China)

A two-and-a-half dimensional (2.5D) procedure based on infinite element method (IFEM) is proposed to predict the bridge-borne noise with higher efficiency, yet no loss of accuracy. The two-dimensional (2D) infinite element model of a bridge with a constant cross section is developed to calculate the acoustic transfer vectors. Then, spatial modal acoustic transfer vectors (MATVs) of the bridge are derived using the space-wavenumber transforms of its 3D modal shapes. The MATVs obtained from 2.5D IFEM and 3D boundary element method are then compared to verify the accuracy of the 2.5D method. The vehicle-track-bridge dynamic interaction analysis is then conducted, and the bridge-borne noise is finally computed through the MATVs and modal coordinate responses of the bridge. The 2.5D procedure is employed to simulate the sound pressure radiating from the concrete bridge in one of Shanghai rail transit lines, and the numerical results are compared with the measured counterparts from field tests. The simulated and measured results match well in both time and frequency domains at near-field points. Nevertheless, the numerical results are smaller than the measured ones for far-field points, mainly due to the neglect of sound pressure induced by adjacent spans.

concrete bridge; low frequency noise; 2.5 D; infinite element method

2014-04-13；

2014-09-10

国家自然科学基金资助项目(50908178)

U448.21; TB532

A

1004-4523(2015)06-0929-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.010

宋晓东(1987—)，男，博士研究生。电话：13918007870；E-mail: 11xdsong@tongji.edu.cn

李奇(1980—)，男，博士，副教授。E-mail: liqi_bridge@tongji.edu.cn