☉江苏省无锡市青山高级中学 顾慧

☉江苏省无锡市滨湖区教研中心王华民

·江苏省无锡市王华民名师工作室·

借数学史之力，解概念难点之疑*
——一堂基于数学史的“复数”概念的教学尝试与感悟

☉江苏省无锡市青山高级中学 顾慧

☉江苏省无锡市滨湖区教研中心王华民

一、问题的提出

众所周知，概念教学是数学教学的重要内容，必须十分重视.有的概念比较抽象、深奥，学生难以理解.而教师的一个重要作用就是帮助学生释疑解惑［1］.高中数学新课标指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展的趋势……”.今天教材中的数学概念并非凭空而来，大都有着各自产生的背景和发展演变的过程，其间凝聚着无数数学家的心血和智慧.目前国内外对数学史与数学教育关系的研究成果不少，但由于种种原因，能应用于日常教学的实效性案例不是很多.在复数的概念教学中，通常是告诉学生为了使得方程x2+1=0有解，我们引入新数i，并规定i2= -1.下课后，有几位学生向教师提出一些疑问：（1）x2+1=0有没有解，很重要吗？（2）既然规定负数能开平方，那我是否也可以定义负数的对数，这样的定义有意义吗？（3）老师能否帮我举一些复数之外还有数的实例？笔者通过查阅大量资料，了解了复数概念产生的历史背景，对复数概念的教学有了较为深刻的认识，并尝试从“数学史”视角展开“复数”概念教学.

二、复数的起源

复数的历史可以追溯到大约公元75年，古希腊数学家Heron用正四棱台上底、下底和斜棱长来计算此棱台高的问题.如果计算正确，.不知是Heron算错了还是后来誊写员抄错了，记录下来的是.小小失误让Heron与虚数失之交臂.类似情形在两个多世纪后的古希腊数学家Diophantus身上同样发生了.六百多年以后，印度数学家Mahaviracarya才首次明确地指出一个数（正数或负数）的平方是正数；正数的平方根有两个，而负数没有平方根.

真正开始发现复数要归功于意大利数学家Cardan.他所著的《大术》一书主要探讨一元二次方程与一元三次方程的求根问题.在求解其中一个问题“把10分成两部分，使得它们的乘积为40”时，Cardan把这样的量称为诡辩量.他认为这样的运算微妙却没有实用价值.对于一元三次方程x3=ax+b的求解，Cardan给出的求根公式.在研究一元三次方程x3=15x+4时，Cardan代入公式得到由于出现了Cardan认为此时他的公式不再适用于此类方程求根问题，并把即被开方数为负数的情形称为不可约方程.我们可以否认一元二次方程根的存在性（如x2+1=0），一元三次方程x3=15x+4的根的存在却不容否认（见后问题1）.与Cardan同时期的意大利数学家Bombelli发现=4.Bombelli给这看似荒谬、毫无意义的复杂表达式赋予了实数的含义［2］.这标志着复数的诞生.

Leibniz在阅读了Bombelli的研究工作后，他与Huygens的通信中也提到了类似的等式为了解释其合理性，Leibniz类比考虑了如下问题［3］：x2+y2=b，xy=c，经计算，他发现x+y=（考虑x＞0，y＞0，b＞0， c＞0）.显然，x+y∈R，而x、y本身却不一定是实数在Bombelli的研究发表二十年后，Viete又从三角函数的角度给出了Cardan不可约方程的求根公式.由此我们发现，复数的发现是源于数学家对一元三次方程的求根问题的探究，而非传统教材中给出的从“使得一元二次方程x2+1=0有解”的角度来引入.

三、复数的发展与完善

Bombelli的研究工作虽给复数拉开了序幕，但复数依然笼罩着神秘色彩.与此同时，复数却已被广泛使用并出现了大量理论方面的探讨.1620年，AlbeRt Girard指出n次方程有n个根.Rene Descartes因一时无法给出的几何意义，为新数创造了“虚数”这个词（Descartes于1637年创造了实部和虚部这两个术语）.18世纪，Leibniz和John Bernoulli把虚数用于计算积分.这一应用引发了数学家们对负数的对数的探讨［3］.复数还被广泛用于地图投影、流体动力学等.借助复数，Euler构建了指数函数和三角函数之间的关联，即：eix=cosx+isinx（1748年Euler引入i来表示）.Wessel给出的复数的几何背景才使得数学家更直观地感受的存在性.借鉴Wessel的研究思路，可给出推导（见后问题5）.Gauss复数几何表示法则进一步揭开了一度笼罩在上的神秘面纱.1833年，Hamilton用有序实数对给出了严格的复数代数定义.1847年，Cauchy又用同余等价观给出了复数的严格抽象定义.19世纪末，复数才被数学家广为接受认可.现在我们对复数的理解有：①平面内的点或向量；②有序实数对；③运算（如平面内向量的旋转）；④形如a+bi的数（其中a、b∈R）；⑤与x2+1同余的实系数多项式；⑥形如的矩阵（其中a、b∈R）；⑦代数上封闭的完全域.曾一度被认为“虚构的”的复数不仅证实了其存在的可能性，还展示出其不可或缺的特性.现在复数已被广泛用于代数、分析、几何和数论等数学分支.此外，复数还被广泛用于量子力学和电路分析等.（复数的简单应用可参见文4-9）

四、教学尝试

综上可知，历经一千八百年的探索发展，“复数”才普遍被人们接受.期间数学前辈的坎坷探索，主要是缘于原有实数系的思维定势，制约人们思考的深入.如果在课堂上把这些都抛给学生，时间紧促，而且又将产生一些新知，对学生的理解构成新的障碍.但数学前辈这种打破“实数集”壁垒的创新思路和坚韧不拔的探索精神值得我们青年学生好好学习，需要好好传承.由此，笔者借鉴复数概念的形成、发展史，以问题驱动，引领学生探索复数的概念，尝试如下.

1.创设情境，提出问题

问题1：探究一元三次方程x3=15x+4的根.

启发：对于三次方程的根，我们可以通过试一试，先找到一个根.

生1：我发现x=4是方程的根，通过因式分解，得（x-4）（x2-4x+1）=0，即（x-4）（x-2-）=0.由此得三次方程的三个根分别为

问题2：16世纪的数学家Cardan对于形如x3=ax+b的一元三次方程，给出如下求根公式：x=，请你利用此公式来探究一元三次方程x3=15x+4的根，你发现什么？

问题3：Leibniz也曾和刚才那位同学一样产生过同样的疑问，他考虑了如下问题：设0，y＞0），请同学们分别计算x+y、x、y的值，讨论有何新的发现.

生3：（x+y）2=x2+2xy+y2=4+10.又x+y＞0，则x+y=构造方程，使得该方程的两解分别为x、y，由判别式，知方程无解，故x、y不存在.我算出x+y是一个确定的数，可x、y为什么不存在？

教师提醒学生：要带着创新、质疑的眼光思考问题.

2.类比探究，建构概念

问题5：请同学们回忆负数的引入，思考如何引入新数.

生5：比零小的数为负数，可以表示相反意义的量.引入负数后，形如x+1=0的方程有解.-1可以理解为绕坐标系原点逆时针旋转180°.类似地，定义后，形如x2+1=0的方程有解.表示y轴正方向的单位有向线段，可理解为绕坐标系原点逆时针旋转90°.

师：借鉴Wessel的研究工作（有向线段乘法的定义），我们一同尝试给出的几何意义的推导：设某一有向线段表示，且该有向线段长为l，方向角为θ，即=l∠θ，等式两边平方后可得-1=l2∠2θ.又-1= 1∠180°，所以l2∠2θ=1∠180°.由此得l2=1，2θ=180°，所以l=1，θ=90°.即i==1∠90°.这表示√-1的几何意义是长度为1、方向角为90°的有向线段.

我们把形如a+bi，a、b∈R的数称为复数，用字母z表示.其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.全体复数的集合称为复数集，记作C.当且仅当b=0时，z表示实数；当b≠0时，z叫做虚数.特别地，当a=0且b≠0时，z叫做纯虚数.请同学们用集合语言来描述实数集R与复数集C的关系.

生6：实数集R是复数集C的真子集；实数集与虚数集的并集是复数集.

问题7：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示什么数？复数z=a+bi，a、b∈R的几何意义是什么？

生7：虚轴上的点表示纯虚数（a≠0）和零（a=0）.复数z=a+bi，a、b∈R可用平面内的点P（a，b）和向量O →Z来表示.（其中O（0，0）、Z（a，b））

3.学以致用，深化理解

问题8：从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他的曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一个宝藏.它是这样写着的：“乘船至北纬、西经，即可找到一座荒岛.岛的北岸有一大片草地.草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，那是过去用来吊死叛变者的.从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩；然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也钉个桩.在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏.于是这位年轻人就租了一条船开往目的地.他找到这座岛，也找到了橡树和松树，但使他大失所望的是绞架不见了.经过长时间的风吹日晒雨淋，绞架已糟烂成土，一点痕迹也看不出.这位年轻的冒险家陷入了绝望.在狂乱中，他在地上乱挖掘起来.但地方太大了，一切只是白费力气.他只好两手空空、启程回程.如果他懂得点儿数学，特别是虚数，他本来是有可能找到宝藏的.运用虚数的知识，请你思考如何帮助探险家发现宝藏.（友情提醒：先建立平面直角坐标系，考虑对称性）

生8说、生9补充，如下：以两树所在直线为x轴，两树连线的中点为坐标系原点，建立复平面.不妨设橡树所在位置为A（1，0），则松树所在位置为B（-1，0），又设绞架所在位置为P（a，b），则设先后钉下的两个桩的位置依次为S、T.故所对应的复数为-i（a-1+bi），即b-（a-1）i，所以S（b+1，1-a）.类似地，可以推出T（-b-1，a+1）.所以ST的中点即宝藏位置为（0，1）.该探险家只需从橡树出发，走到橡树与松树的中点位置，记下走过的步数，向右拐个直角再走这么多步，即可找到宝藏.（课堂上学生兴致很高.）

五、教学感悟

数学前辈探索发现数学概念的曲折与艰辛能展现数学知识的人文色彩，为学生的数学学习提供正能量.让学生意识到困惑、挫折与失败是探索求真的必经之路，从而使其建立学习数学的自信心.对教师而言，借鉴数学史能更好地预测和解释学生可能遇到的学习困难，有针对性地设计教学活动、选择教学策略，促进学生对数学概念本质的理解，改变传统教学模式下学生认为数学概念是一成不变的这个观点.让学生在历史问题情境中探索，提升学生的创新思维及数学素养.

1.采用一元三次方程引入复数，让学生感悟数学的求真与自然

中国传统教材以简洁明了的方式即使得一元二次方程x2+1=0有解的角度来引入虚数单位i.复数概念教学中教师常常会以解方程为线索，比如以解系列方程5x= 3、x+1=0、x2=2的过程让学生来感受数系一次次扩充的必要性［10］，而这必然会让学生产生与Cardan类似的疑问与困惑：负数开平方有意义吗？英国教材对复数概念的引入方式是给出了Cardan求方程组的情形［11］.然而数学史上，Cardan并未因此而引入虚数单位，而是认为5这两个数是“虚幻之数”.我国教材有违数学事实的引入将不利于学生的认知.英国教材借鉴了数学史，却没有凸显复数概念产生真正的背景——数学家对一元三次方程x3=15x+4根的探求.

笔者让学生运用已有的知识自主探索一元三次方程x3=15x+4的根，同时呈现Cardan、Bombelli与Leibniz等数学家的研究发现.这样一是还原历史本来面貌，追寻数学家探索的足迹，让学生感悟数学的“求真”；二是让学生自然邂逅矛盾，产生认知冲突，并意识到“负数开平方运算”的必要性，可使虚数单位i的引入更顺理成章，让学生体会数学的自然性.

2.介绍复数的几何意义，有助于学生感受复数的存在

Bombelli的发现给原本毫无意义的表达式赋予了含义，但并未消除数学家对复数的困惑与不安．数学家希望找到复数的几何背景或物理意义来更直观地理解复数概念．历史上Wallis、Wessel、Argand和Gauss等人对复数几何意义的研究才最终驱散了曾一度笼罩在复数身上的神秘色彩.

对复数的几何意义的处理，传统教学往往局限于教材与教参，教师会直接给出Gauss复平面、实轴和虚轴等概念，引导学生类比实数可以用数轴上的点来表示来猜想复数a+bi可以用有序实数对（a，b）来表示［12］.这一做法看似清晰，却忽视了这样一个事实：由一维数轴到二维复平面的拓展正是学生理解的困难所在.现行教材删除了复数乘法的几何意义、复数三角表示法等内容，表面上看似乎减轻了学生的学习负担，实则弱化了i可表示逆时针旋转90°的运算这一直观形象含义，反而增加了学生记忆的负荷［13］.学生会把复数的代数形式与几何意义视为两块不同的内容来处理.纵观复数概念发展史，复数概念被认可和接受是因为数学家找到了虚数单位i的几何背景.教学中教师应让学生探索虚数单位i的几何含义，感受引入的新数并非数学家所假想的“虚幻之数”，而是真真切切存在的.

实数集到复数集扩充的过程中，受初中“负数没有平方根”的影响，“负数可以进行开平方运算”是复数概念教学中学生认知的难点.为了突破这一难点，教师不妨类比学生已有的负数概念（负数表示相反意义的量）来引导学生认识“-1可表示逆时针旋转180°”，由此进一步思考虚数单位i的几何含义.直观形象的几何背景能让学生感受其真实和存在，促进学生对复数概念的理解.

4.设计数学运用案例及课外研讨，有益于学生深化理解复数的概念

概念转变学习理论指出学习者的概念转变需要满足如下四个条件［14］：①对原有的概念产生不满；②有一个新的可以理解的概念；③新概念要合情合理，即该概念要与已有知识相兼容，不会产生矛盾；④新的概念可以解决新的问题，可以拓展延伸，为探索提供更广阔的空间.教学中运用George Gamow给出的探险家探寻宝藏的问题［15］能拉近学生与虚数单位i的距离，让学生感受“新数”的应用就在生活中，从而激发他们“火热的思考”.借助学生可操作的外在探究活动凸显虚数单位i的实质内涵，有益于他们深化理解复数的概念.

前文提及那位学生提出“负数的对数”其实也存在，而高中数学教学目标不作要求，教材中也没有提供相关素材，教师可以推荐历史素材，引导学生课后自主阅读，撰写学习心得，让学有余力的学生突破课内教学局限，拓宽数学视野.以复数概念为例，研究专题有：（a）负数和复数的对数；（b）数系的发展；（c）超越数（四元数）；（d）复数的有趣应用等．将课堂概念教学的意犹未尽延伸到课后兴趣盎然的自主探索专题研讨，不仅有助于激发学生学习数学的兴趣，还将课堂延伸到课外．

5.借鉴数学史的复数概念教学，有益于学生培养创新思维

教师的教学风格潜移默化地影响着学生的学习方式.不少学生觉得数学概念是“冰冷的美丽”.借鉴复数概念的产生、发展与完善的过程，教师突破课标与教材的框架，以“问题串”的形式，唤醒学生解决问题的欲望，激活其内在的数学思维力，这正是数学教学的本质所在.教学方式的求异旨在让学生亲历自主探索的思辨过程（质疑、类比、逆向思考等），自然生成了复数概念，这也是一种知识的“再创造”，有益于培养学生的创新思维.在高中数学概念教学中，教师应充分给予学生自主思维的空间与时间，让学生的思辨能力在自主探索、合作交流的碰撞中擦出智慧的火花.使其倾听同伴思维之声的同时，敢于质疑，善于提问，勇于展示自我的思维过程.丰富的数学史素材为学生拓宽思路提供了强有力的支撑.

高中数学课堂概念教学如果能以学生的认知基础为教学起点，那么更能引起学生的共鸣.将形式化的数学概念定义单方向的输入还原为概念产生问题情境的探索，意在让学生在民主、自由的教学氛围中亲历概念的产生与发展过程，以激发学生的内驱力，让学生感受数学大师敢于质疑、善于提问的科学精神，让学生零距离接触数学大师的创作灵感与发现，感悟蕴含其中的思想和方法，这也是培养学生情感态度价值观的目标所在.

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*本文系江苏省中小学教研室第九期立项课题：《基于数学史的高中数学概念教学研究》（编号：JK9-L028）的研究成果.