☉浙江省丽水学院附中 应娇捷 陈伟华

“聊摘”质疑

☉浙江省丽水学院附中 应娇捷 陈伟华

浙江省教育厅试行校本教材开发，丽水学院附中教师积极参与研发，开发出13门课程，发现学生对选修课兴趣浓厚.为此，学校的校长与骨干教师反复推敲、研磨，确定数学拓展类选修课尝试，以学生的问题为出发点，联系数学文化，直观触动学生的敏感思维，在有趣活动中突破难点.下面是一次选修课的内容，与大家切磋，希望得到更多的指导.

一、基于学生问题选内容

基于学生的认识水平和数学现实及最大需求，顾及学生的认识需要，揉进数学史.本次选课的内容源于学生的问题：在执教“极限”知识点的时候，针对学生的疑虑组编“聊摘”质疑.

二、聊摘设疑

聊1：春秋战国时期，在《庄子·天下篇》里记载着惠施关于数学的一些论说，如：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

学生：老师，看得我云里雾里，更想明白其中的奥秘.

教师：我们从聊天室回到教室细聊.

三、聊活抽象概念

聊2：这则论说让你感觉很晕？因为这是极限的思想，我们用数来解释：设棰长为2，能用图形表示取出的长度吗？

图1

学生体验活动1：如图1，对取出的长为1的线段二等分，取一份；对取出的长为的线段二等分，取一份；对取出的长为的线段二等分，取一份；如此类推，写出取出的线段的长度.

学生体验活动2：当n增大时，an接近于0；当n越来越大时，an很接近很接近于0；当n很大很大很大时，an很接近很接近很接近于0；…；当n无限增大时，an无限接近于0.记为：当n→+∞时，an→0.

图2

聊4：如图2，对取出的长为1的线段三等分，取一份；对取出的长为的线段三等分，取一份；对取出的长为的线段三等分，取一份；如此类推，被取出的线段请用数列表示，并表达出变化的趋势.

学生体验活动3：对应数列｛an｝为：….当n增大时，an接近于0；当n越来越大时，an很接近很接近于0；当n很大很大很大时，an很接近很接近很接近于0；…；当n无限增大时，an无限接近于0.

归纳数列极限的通俗定义：当n无限增大时，如果数列｛an｝的一般项an无限接近于常数a，则常数a称为数列｛an｝的极限，或称数列｛an｝收敛于a，记

聊5：如何用不等式来反映这两个无穷变化过程？

学生体验活动4：用“n≥N，N为正整数”表示n无限增大，用“|an－a|＜ε，ε为正小数”表示无限接近.

学生体验活动5：无限趋近数量化得到数列极限的精确定义：设｛an｝为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|ana|＜ε都成立，则称常数a是数列｛an｝的极限，或者称数列｛an｝收敛于a，记为：

聊6：你能举出存在极限的数列吗？

四、聊出思想方法的魅力

聊7：你能明白“一尺之棰，日取其半，万世不竭”了吗？

学生体验活动7（阅读）：他用了逐渐逼近的思想方法.这种方法可以用直代曲，历史上解决许多数学问题，如求圆的面积S.如图3，刘徽考察圆内接多边形.他先从六边形做起，然后将六等份的每个弧段再对半分，结果生成圆的内接正12边形，直观上可以明显看出12边形更接近于圆周.重复弧段逐步对分的过程，即每分割一次内接多边形的边数增加一倍，如此下去，设内接正n边形的面积为Sn，圆的面积为S*，则：S1表示圆内接正6边形的面积，S2表示圆内接正12边形的面积，S3表示圆内接正24边形的面积，…，Sn表示圆内接正6×2n－1边形的面积，显然n越大，Sn越接近于S*.

图3

由此可见，在刘徽的心目中，割圆是个割之又割的无限过程，是通向无穷之路.单从“割”来看还不足以显示古代中国数学泰斗刘徽的大智慧，刘徽的真正亮点是圆面积公式的推导方法及圆周率的计算，我们将看到刘徽的光辉思想与晚他1000多年才提出的极限论是如此惊人的符合.在图3中，刘徽定义线段GC为余径，△ACB为余径三角形，四边形ADEB为余径长方形，（S2n－Sn）为差幂，容易证明SADEB=2SACB，设|GC|=rn，|AB|=ln（|AB|为正n边形的边长，|AC|为正2n边形的边长），因此有：S2n=即2n边形的面积可由n边形的面积加余径三角形的面积加以修正，于是S12=S6+累加便得圆的面积另一方面，如果将图3中的四边形ACBO的面积加上余径三角形ACB的面积，即得多边形ADEBO的面积，这个面积超出扇形AOB的面积，因此有：S2n+两端都是极易计算的，而夹在它们之间的S*则是未知逼近公式，据此可以利用偏差来估计误差|S2n－S*|＜|S2n－Sn|，这样对于任意精度ε＞0，只要检查计算数据S2n，一旦发现某个偏差|S2n－Sn|＜ε就获知误差|S2n－S*|＜ε.再注意到误差是逐步递减的，由此可以判定当n＞N时恒成立，从而｛Sn｝确实收敛于极限值S*.联系19世纪中叶维尔斯特拉斯提出的ε-N说法：如果对于任给ε＞0，总可以找到这样的下标N，使对一切n＞N：|xn－a|＜ε恒成立，则称数列｛xn｝收敛于极限a，这就是刘徽（公元263年）割圆术中的极限思想.刘徽指出：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”他计算到圆内接正192边形的面积，从而求出圆周率π的近似值为3.14.有的学者认为刘徽曾算到圆内接正3072边形的面积，得到π≈3.1416.刘徽的思想在其后南北朝时期祖冲之父子那里得以发扬光大，他们得到π的近似值在3.1415926～3.1415927之间.在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了约一千一百年，使我国古代数学大放异彩.在当时的条件下，这个计算量是相当大的，即使在今天用纸笔计算也绝不是一件轻松的事，何况古代计算还是用算筹（小竹棍）？这需要怎样的细心和毅力啊！如今要实现中国梦，正需要这种严谨不苟的治学态度和不畏艰难的毅力，是我们最需要，也是最缺失的理性精神.

以上我们聊的刘徽割圆术等，正是把抽象的极限定义，还原到形象，把极限概念回归生活的实际.同时让学生明理，学会联系实际.不妨让我们再做一次试验.

欲知后事如何，且听下回分解.

1.罗增儒.教学效能的故事高效课堂的特征（续）［J］.中学数学教学参考（上），2011（3）.

2.文卫星.高中数学引言课［J］.中学数学教学参考（上），2011（11）.A