☉江苏省黄桥中学 袁春伟

高中数学解题教学中“通法”与“特技”的探析

☉江苏省黄桥中学 袁春伟

高中数学解题教学是数学课程教学的重要组成部分，数学解题方法一直是教师和学生关注的焦点，解题方法的优劣某种程度上决定着解题的速度与效率.笔者从事高中数学教育教学多年来，一直注重和加强数学解题中“通法”的训练，实践表明：运用“通法”进行解题固然重要，但是解题过程中隐含的“特技”也是值得注意的，在此总结如下.

一、灵活运用“通法”中体现的一般规律，获取“简解”之“特技”

处理具体问题的基本策略通常习惯于遇“繁”则去思考“简”的处理方法，高中数学解题也是同样的道理.然而，简解来源于对基本处理方法的调整与深层次的思考，发现简解、特技的过程也是思维转换能力提升的过程.

例1函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在上存在最大值3，试求实数a的值.

点评：本题通常的处理手段都是采取分类讨论的思想，利用这种通法，正常情况下都要针对系数a的正负进行讨论，要探究抛物线的开口方向，同时还要探究对称轴与题中所给区间之间的关系.如果抛物线开口向上，对称轴在区间内的情况下，还要分析对称轴与区间两端点之间的距离远近情况，利用这种通法解题，大约有7种情况要讨论，求解过程中容易手忙脚乱，出错率较高.上述呈现的解法来源于在通法讨论的过程中，经过细心的观察发现二次函数在闭区间上一定存在最值，取得最值的点可能是区间的两端点或者抛物线的对称轴的顶点处，由此我们不难发现试题背后的一般规律，进行合理思维方向的转换，利用代入验证的方法进行解题，结果清晰、易懂.

二、在“通法”中揭示问题的本质，形成“巧解”之“特技”

高中数学解题教学中，对于“通法”的加强是毋庸置疑的，但是过分的强调容易让学生产生思维定势，产生负迁移现象，严重影响正确解题的效率.

例2证明以下4题.

剖析：数学归纳法可以说是高中数学证明题中常用的一种“通法”，高中学生能够利用数学归纳法顺利完成题1和题2两道试题的证明.题3与题4其实是题1和题2简单的演变题而已，但是很多学生难以解决，主要是学生仍然利用数学归纳法即“通法”处理，当n=k+1时不等式左侧比n=k时增加一个正项，直接推导无法完成证明，学生的思维受到阻碍.若我们在利用归纳法处理题1的过程中发现：此式是题1中不等式成立的基础，借助此式可以思考运用“放缩裂项法”寻求到解决题1的简易方法，进而快速解决题3.学生对题4不知从何处下手的原因是没有准确把握问题的本质，其实只要认真思考数学归纳法的常规推理过程，不难发现问题的本质是：f（k+1）＜f（k），借助函数的单调性巧妙处理题2，同时可以发现题4的本质为，则存在最小整数t=8，使得

三、在准确挖掘与捕捉隐含信息的过程中，发现“巧解”之“特技”

高中数学多数试题中存在着丰富的隐含信息，对这些隐蔽信息的挖掘和捕捉往往是解题的关键因素，特别是在解题过程中能够有效简化运算过程，便于学生发现处理难题的“特技”.

解析：根据题意构建如图1所示的椭圆，由几何关系可知：椭圆上的点到准线y=1的距离介于最小值|A1M|与最大值|A2M|之间；椭圆上的点P（0，1）距离准线y=1的垂直距离为2，则|A1M|≤2≤ |A2M|，即

图1

点评：本题的常规处理手段是将已知点代入椭圆方程，与第二定义的相关知识互相结合进行求解，可谓“通法”，解题过程比较复杂.实际上，如果能有意识地捕捉椭圆中的特定性质这一信息，充分利用点在椭圆上这一几何条件，完全可以实现上述所呈现的“巧解”，解析中|A1M|≤2≤|A2M|正是深入捕捉信息所得到的结果.

四、在针对数学命题的多途径等价转换中，悟出“简解”之“特技”

高中数学解题过程实质上是不断地将命题由繁到简、由难到易、由生到熟的转化过程.实践证明，对数学命题进行多途径的等价转换，能够从中悟出“简解”.

例4已知f（x）=2x+a的反函数的图像上存在三点A（x+a，y1）、B（x，y2）、C（2+a，y3），仅存在一个实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试求实数a的取值范围.

剖析：根据题意，反函数的表达式为y=log2（x-a），则y1=log2x，y2=log2（x-a），y3=log22=1，则问题转化为：2y2=y1+ y3，即方程2log2（x-a）=log2x+1存在唯一解.

如果直接对（Ⅰ）进行讨论，结果相当复杂.但是如果仔细观察不难发现（3）式可以由（1）与（2）得到，则（Ⅰ）可以等价于：（Ⅱ）则原命题中涉及的问题可以有如下几种简化途径.

途径1：等价转化为求方程（4）仅有一个大于实数a的解时a的取值范围；

途径2：等价转化为求f（x）=（x-a）2（x＞a）与g（x）=2x的图像有唯一公共点时实数a的取值范围.

总而言之，作为一线的高中数学教师，在平时的解题教学中，在强调“通法”解题教学的同时，应该重视引导学生在运用、回顾“通法”的过程中，注意观察、思考与分析，从中悟出“特技”的处理策略，有效揭开“特技”背后的神秘面纱，不仅激发学生的学习兴趣，而且提升学生运用数学知识处理实际问题的能力.A